직선운동을 기술하는 법은
물리I에서 배웠으니 스킵했다.
혹시 모르면 물리I 에 있는 운동단원 하고오면 된다.
여기도 수능 4페이지에서 문제가 나오는 부분이다.
그래서 예제도
아주 쉬운문제로 일단 오개념을 잡고
바로 고난이도 문제로 넘어갈것이다.
- 포물선 운동 -
말 그대로 포물선 궤도로 운동하는것이다.
물리I에서는 무조건 정해진 궤도를 따라 1차원운동했지만
물리II에서는 공중으로 던져졌을때의 2차원운동을 기술해야 한다.
1차원으로도 복잡한데 2차원 운동을 하란다.
아마 물리II 선택자들의 첫번째 고비가 아닐까 싶다.
물체를 던진다음 가만히 놔뒀더니
물체가 저런 궤도로 포물선운동했다고 해보자.
공기저항은 당연히 무시하고
이때 물체에 작용하는 힘은?
1. 아래방향 중력
2. "없음"
2차원 운동이지만 일단
작용하는 힘은 '중력'밖에 없음이 핵심이다.
따라서 저 물체의 속도벡터를 분해해보면
이런식으로 될것이다.
하나하나 뜯어보자면
우선 속도를 수평방향(x)과 연직방향(y)으로 분해한것이다.
중력은 -y방향이므로
y방향 가속도는 -g 이고
x방향 가속도는 0이다.
따라서 수평방향으로는 등속도운동을 한다.
연직방향으로는 등가속도운동을 한다.
즉 포물선운동을 기술할때는
수평방향(x)과 연직방향(y)으로 분해해서
따로따로 기술하면 편하다.
수평방향 운동은 등속도운동이고
연직방향 운동은 중력만 작용하기 때문에
등가속도 운동하는것이다.
결국 물리I의 등가속도운동에다가
등속도운동 하나 얹은것이다.
앞으로 글 작성의 편의를 위해
수평방향은 x축,
연직방향은 y축으로 둘것이다.
이제 쉽다.
그냥 x방향 y방향 분해한다음
하던대로 하면 된다.
그래도 2차원 운동이다보니까
저때 최고높이에 도달할때까지 걸리는 시간
최고 높이
지면에 닿을때까지 수평 거리로 이동하는 거리
지면에 닿는 순간의 속력
등등 여러 물리량들을 나타내는
공식이 좀 있다.
질량 m인 공을
초속도 v0_로 던졌다.
이때의 물리량들을
하나씩 구해보자.
시작하기 전에 하나 말해두고 가자면
공식만 외워갈게 아니라
1. 공식을 유도하는데 어떤 사고과정을 거쳤는가
2. 그리고 각각의 물리량이 의미하는 바가 무엇인가
이 두개를 중점으로 봐라.
저건 지면에서 출발해서 지면에 도달하는 아주 특수한 상황이다.
수능에서는
공을 두개 던지는건 기본이고
저렇게 지면에서 던져주지도 않는다.
높이 h인데서 던진다음 또 무슨 경사각이 60˚인 경사면에 떨어진다고 한다.
그리고 그때 물리량의 관계를 묻는다.
그럴때 여기서의 공식만 가지고 적용하려하면 애를 먹는다.
1. 최고 높이에 도달할때까지 걸리는 시간(t)
우선 저 초속도를 x방향 y방향으로 벡터분해하면 이렇게 된다.
θ와 삼각함수를 이용하면 각각의 값을
v0_에 대해 나타낼 수 있다.
따라서 이때의 속도벡터 분해를 다시 써보자.
이게 초속도다.
근데 우리가 지금 구하고자 하는건
최고높이까지 도달하는 시간이다.
최고높이에 도달했다는건
y방향 속도가 0이 됐다는것이다.
중력에 의해
y방향 속도가 감소하다가 0이 되어
더이상 올라가지 못하고 내려오는것이다.
이때 y방향 초속도는 +v0_sinθ 이고
가속도는 -y방향이기때문에 -g이다.
속도가 0이되는 순간이 최고높이 도달시간이라 했으므로
v0_sinθ - gt = 0 을 만족하는 순간이
최고높이 도달시간 t이다.
따라서
최고 높이 도달시간을 구했다.
2. 최고 높이(H)
y방향은 등가속도 운동이므로
물리I에서 하던대로 하면 된다.
시간 t초동안의 변위가 H인 것이다.
내가 물리I 등가속도운동 단원에다가 적어놓은걸 그대로 가져왔다.
t초일때 최고 높이를 구하는거니까
s자리에 H를 넣고
v0_자리에는 y방향 초속도인 v0_sinθ
a 자리에는 -y방향 중력가속도인 -g
t 자리에는 아까 구한 v0_sinθ/g 를 넣으면 된다.
뭔가 엄청 복잡해보이지만
삼각함수가 들어가서 그런거지
전혀 겁먹을 필요가 없다.
문제에서는 θ=30º 라고 준다던지 해서
식을 간단하게 만들어준다.
그리고 H 식을 잘 보면
H를 t로 나타낼 수 있다는게 보일것이다.
이 두 식이 매우 중요하다.
신기한 점은
H와 t의 관계식에
θ가 등장하지 않는다는것이다.
그 말은 최고점 높이 H가 정해져있다면
θ가 몇이던간에
항상 t는 같고
그 역도 성립한다.
이 식들을 유도하자면 유도할수는 있지만
시험장에서 그럴시간 없다.
그냥 기계적으로 나올정도로 익숙해져야하며
그러려면 문제를 많이 풀어봐야된다.
3. 지면에 닿을때까지의 수평 이동 거리(R)
수평 이동 거리를 묻고 있으므로
x방향 운동에 대해 기술해야한다.
근데 이건 아주 쉽다.
중력밖에 작용하는 힘이 없으므로
x방향은 등속도운동이기 때문이다.
따라서 R = v0_cosθ × (땅에 닿을때까지의 시간)
땅에 닿을때까지의 시간은 얼마인가?
지면에서 출발했는데 지면에 도달했다는건
연직방향 변위가 0이라는거다.
따라서 당연히 2t 이다.
두 가지로 증명해주겠다.
1. 등가속도운동 공식에 때려넣기
2. 논리적인 설명
연직방향 변위가 0이라는건
'평균 속도'가 0이었다는거다.
따라서 v0_sinθ 로 출발했으면
평균속도가 0이되기 위해
지면에 도달할땐 -v0_sinθ 의 연직방향 속도를 갖는다는 것이다.
근데 t초 동안 연직방향 속도가 v0_sinθ 감소하여
0이되고 거기가 최고지점이라는걸 이미 알고있다.
v0_sinθ - gt = 0이라는거다.
그러면 v0_sinθ - gT = -v0_sinθ
를 만족하는 T값은 당연히 2t이다.
따라서 R = v0_cosθ × (땅에 닿을때까지의 시간) = v0_cosθ × 2t
여기서도 t = v0_sinθ/g 를 대입해보면
두 식 모두 알고있는게 좋다.
첫번째 식은
x방향 속도가 일정함을 이용해
지면에서 출발해서
지면에 도달할때까지의 시간을 곱해서 구한거고
두번째 식은
t에 대입해버려서 t를 소거시킨 식이다.
sinθ는 θ = 90˚ 일때 최대이므로
θ = 45˚ 로 던졌을때 가장 멀리 감을 알 수 있다.
4. 지면에 닿는 순간의 속력
이건 이미 알고있다.
당연히 v0_이다.
왜냐? 역학적 에너지는 보존되니까.
- 문제풀이 방법 -
그럼 대충 뭐하는 운동인지 알았고 문제는 어떻게 푸느냐?
1. 문제에서 제시한 각도를 이용해 삼각비 적용해서
x방향속도와 y방향속도의 관계를 구한다.
보통 30˚ , 45˚ 이렇게 줘서 간단하게 나온다.
2. x방향은 등속도운동, y방향은 중력만 작용하는 등가속도운동임을 이용해
x방향과 y방향을 분해해서 각각 식을 쓴다.
3. 식들을 연립한다.
끝
참고로
x방향이 등속도운동이 아닐수도 있다.
내가 계속 x방향이 등속도운동이라 한 이유는
작용하는 힘이 중력밖에 없어서다.
중력 말고 다른 힘도 있다고 하면
그것대로 x방향도 똑같이 등가속도운동
적용하면 된다.
그냥 물리I에서 하던거
한문제 풀때 두번 한다고 생각하면 된다.
그럼 이해했는지 몇가지 묻고 가겠다.
중력장 내에서 질량이 같은 두 물체 A,B의 운동 경로를 나타낸 것이다.
A, B는 동시에 던져졌다.
틀린 것을 모두 고르시오.
(단, 공기 저항은 무시한다.)
ㄱ. A의 가속도가 B보다 크다.
ㄴ. A와 B는 동시에 지면에 도달한다.
ㄷ. 최고점에서 A가 B보다 속력이 작다.
ㄹ. A를 던지는 각도는 그대로 유지하고
초기속도의 크기를 크게하면 h보다 높이 올라간다.
ㅁ. A와 B의 역학적 에너지는 같다.
ㅂ. B의 속력이 가장 느릴때는 h에 있을때이다.
ㅅ. A가 h에 있을때 가속도는 0이다.
답은 ㄱ, ㅁ, ㅅ이다.
ㄱ)
중력가속도는 질량과 관계없이 무조건 g이다.
A의 질량이 9999999999kg여도 무조건 g이다.
ㅁ)
ㄷ을 풀면서 알았을텐데
A와 B의 역학적 에너지가 같으려면
높이 h인 지점에서 둘의 속력이 같아야한다.
근데 A의 속력이 더 느리므로
역학적에너지는 A<B이다.
ㅅ)
A든 B든 위치가 어디건간에 무조건 항상 중력이 작용하고
가속도는 항상 중력가속도 g이다.
혹시 이 문제 푸는데 어려움이 있었으면 이걸 보자.
이거 아닌가?
따라서 v가 최소일때는
Vx는 항상 일정하므로
Vy가 최소가 될때이고
그 지점이 바로 Vy=0인 지점
즉 최고점이다.
- 예제 -
1 )
ㄱ)
B와 C의 처음 속력이 같았다.
그리고 B와 C의 질량도 같다.
따라서 B와 C의 역학적에너지는 같다.
따라서 높이가 h인 곳을 지날때
B와 C의 운동에너지는 같고
따라서 B와 C의 속력도 같다.
따라서 ㄱ(o)
ㄴ)
B가 가장 높이 올라갔으므로
B의 y방향 초속도가 가장 컸다는것이다.
굳이 비교해보자면
y방향 초속도의 크기는
B>A>C이다.
B의 y방향 초속도가 가장 크므로
B가 가장 높이 올라가고
따라서 B가 가장 늦게 내려온다.
따라서 ㄴ(o)
식으로도 풀수있다.
최고점 도달시간을 t라 하면
지면 도달시간은 2t이다.
이거 적용하면
B의 H가 가장 크므로
B의 t도 가장 크다. 따라서 ㄴ(o)
ㄷ)
높이 h까지 빨리 올라가려면
y방향 초속도가 빨라야한다.
가장 빠른건 B이고 따라서
h까지 올라가는데 걸리는 시간은
y방향 초속도가 가장 느린 C이다.
이 식 적용해도 바로 나온다.
따라서 ㄷ(x)
따라서 답은 3번
2 )
ㄱ)
둘다 수평방향으로 던졌다 했다.
즉 둘다 초기 y방향 속도가 0이다.
그리고 둘이 던져진 높이가 같다.
따라서 B와 A는 동시에 수평면에 도달한다.
따라서 ㄱ(x)
이 식으로 풀어도 되지만
무작정 이 식을 때려박으면 매우 위험하다.
이 식을 유도하는 과정을 떠올려보자.
t의 의미는
지면에서 던졌을때 최고점까지 도달하는 시간이고
H의 의미는
지면에서 던졌을때 최고점의 높이이다.
저 문제에선 둘다 수평하게 던진거라
던져진 지점이 최고점이고 저 식을 적용해도 된다.
근데 저기서 하나는 위로 던져버리면
그 물체의 최고점은 H보다 커지게 된다.
그럼 당연히 위로 던진게 지면에 늦게 도달할것이다.
그니까 내가 이 식이 익숙해지도록 연습하라는건
어디까지나 문제풀이 속도 향상을 위해서지
무식하게 공식만 외워서 풀려고 하지 말라는말이다.
위에서 이 식의 유도 과정과 얘네가 의미하는 바가 무엇인지를 중점으로
보라고 얘기했었다.
어쨌든 ㄱ(x)
ㄴ)
둘다 수평하게 던져졌으므로
y방향 초기속도는 둘다 0이고
지면 도달시간은 같을것이므로
지면 도달순간 y방향 속도는 둘이 같을것이다.
따라서 주어진 각을 이용해 삼각비를 이용하면
y방향 속도와 x방향 속도의 관계가 나올거고
A와 B의 y방향 속도가 같으므로
A와 B의 x방향 속도의 관계가 나올거고
그럼 A와 B의 속도의 관계를 알 수 있다.
글로 설명하려니 좀 긴데
그림을 그려보면 바로 이해가 된다.
따라서 지면에 도달하는순간
A의 속력은 B의 루트(3) 배이다.
루트 = square root 니까
앞으로 편의상 루트는 sqrt라 하겠다.
따라서 ㄴ(x)
ㄷ)
따라서 A의 수평방향속도는 B의 수평방향속도의 3배이고
따라서 수평도달거리도 3배이다.
따라서 ㄷ(o)
따라서 답은 2번
3 )
ㄱ)
수평방향으로 등속도운동하므로
A의 수평방향 속도는 항상 10m/s이다.
수평 도달거리가 20m이므로
이동 시간은 2초이고
따라서 h = gt^2/2 에서
g = 10, t=2를 대입하면
h=20m다.
따라서 ㄱ(o)
이것도 그냥 집어넣으면 안되는게
던져진 지점이 최고점이니까 저 식이 가능한것이다.
만약 저기서 아래방향으로 던졌어도 저 식은 쓰면 안된다.
아래방향으로 던졌다는건
y방향 초기속도가 아래방향이라는건데
그러면 당연히 최고점은 던져진 곳보다 위일것이다.
던져진 지점 = 최고점이 절대 아니다.
ㄴ)
B도 수평하게 던져졌으므로
A와 지면 도달시간은 같다.
따라서 B도 2초 후 지면에 도달한다.
근데 2초동안 40m 이동했으므로
v는 20m/s이다.
따라서 ㄴ(o)
ㄷ)
수평면에 도달하는 순간
일단 A와 B의 y방향 속도는 같을것이다.
y방향 속도의 크기는
g의 가속도로 2초간 움직였으니
g(m/s^2) × 2(s) = 20m/s 이다.
A와 B의 지면도달순간
x방향속도와 y방향속도를 아니까
이제 이걸 합성한다음 크기를 비교하면 된다.
10sqrt(5) : 20sqrt(2) = sqrt(5) : 2sqrt(2) = 1 : 2sqrt(2/5) = 1 : 2sqrt(10)/5
따라서 B가 A의 2sqrt(10)/5 배이다.
따라서 ㄷ(x)
따라서 답은 3번
4 )
수평면 상의 같은 지점에 도달했다는건
A와 B의 x방향 변위가 같고
y방향 변위도 같다는것이다.
x방향 변위는 R로 두고
y방향 변위는 -h이다.
A의 속도를 분해해보면
따라서 답은 2번
5 )
슬슬 감 잡았을테니
친절한 설명 없이 바로 가겠다.
문제풀이 핵심 : R지점에서 경사면과 수직하게 만난다.
v0_ 쓰기 귀찮아서
v0_대신 보다 빠르게 쓸수있는 x로 나타낸것이다.
문제풀이 시간 단축하는 내 나름대로의 꿀팁이다.
v0_로 나타내면
당장 x방향 초속도 v0_/2 나오고
쓰는데 오래걸릴테니
그냥 선 두개 찍찍그으면 바로 완성되는 x로 나타내버린것이다.
그냥 편한대로 하면 되는데 난 이게 편하니 이렇게 할것이다.
따라서 답은 2번
6 )
x는 이미 있는 미지수고
각도가 30도기 때문에
연직방향 속도를 y로 두면
삼각비 적용했을때 식이 덜 더러워져서
아까와 같이 편하게 풀 수 있다.
따라서 답은 4번
7 )
ㄱ)
따라서 ㄱ(o)
ㄴ)
B는 등가속도 직선운동 했으며
A와 수평거리 0인 지점에서 동시에 출발했고
동시에 도착했으니
B의 평군속도는 v이다.
근데 A가 떨어질때도 등가속도운동했다.
A가 떨어지는 등가속도운동에서의 y변위가 -h고
B의 등가속도운동에서의 x변위가 2h이므로
A의 평균속도는 B의 절반인 v/2이다.
근데 A의 가속도가 g이므로
B의 가속도는 2g이다.
따라서 ㄴ(o)
ㄷ)
p에 도달하는 순간 A와 B의 x,y방향 속도를 보겠다.
A : x방향 v
y방향은 평균속도가 v/2이므로 v
B :
x방향은 평균속도가 v이므로 2v
y방향 0
따라서 A의 속력은 sqrt(2)v 이고 B의 속력은 2v이므로
p에서 속력은 B가 A보다 크다.
따라서 ㄷ(o)
따라서 답은 5번
8 )
이 문제의 핵심은
B점에서의 속력을 R을 이용해 나타낼 수 있는가 이다.
ㄱ)
따라서 ㄱ(x)
ㄴ)
d = xt 이므로
x = sqrt(gR)/2 , t = sqrt(4R/3g)
이 둘을 대입하면 d = R(sqrt(3)/3)이다.
따라서 ㄴ(o)
ㄷ)
물체는 역학적에너지가 보존된다.
따라서 최고점의 높이를 h라 하면
따라서 ㄷ(x)
따라서 답은 2번
9 )
ㄱ)
포물선 운동이라고
무조건 -y방향 중력 작용 이라고 하면 안되는 이유가
이 문제로 나왔다.
왜냐면
-y방향으로 중력이 작용하고있는 입자라면
입자는 x방향으로 등속도운동 하기때문에
그림상 절대 q에서 수직인 방향으로 도달할수 없다.
따라서 가속도의 방향은 -y방향이 아니다.
따라서 ㄱ(x)
그럼 가속도의 방향이 -x방향일까?
그것도 아니다. 가속도가 -x방향이면
y방향 초속도를 가지고 계속 올라갔겠지
결론은 일정한 힘을 주었다고 했으니
등가속도 운동이다. 라는 것 정도만 알 수 있다.
ㄴ)
우선 q에 수직으로 도달하니까
x방향 속도는 0이다.
O에서 y방향 초속도 vsinθ로 발사했고
등가속도 운동이므로
등가속도운동에서 이때 y변위가 0인걸 이용해
식을 쓰면
따라서 ㄴ(o)
그냥 논리로 풀어도 된다.
y방향 변위가 0이니까
평균속도도 0이고 따라서 -vsinθ 로 q점에 도달한다.
ㄷ)
등가속도 운동인데
O점에서 y성분 속도가 vsinθ
p점에서 y성분 속도가 0
q점에서 y성분 속도가 -vsinθ
이므로 최고점인 p점에서 q까지 가는데
걸리는 시간은
O점에서 p점까지 가는데 걸리는 시간과 같은 t0_이다.
따라서 ㄷ(o)
따라서 답은 5번
10 )
이런 문제는 두 가지 방법으로 풀 수 있는데
1. 하던대로 정석 풀이
따라서 답은 5번
2. 일명 '축돌리기'풀이
이런식으로 포물선운동하는 물체와
경사면을 따라 운동하는 물체가 같이 있으면
많이 쓰는 풀이법인데
본인이 수험생이고 이 풀이를 써볼생각이면
많이 연습해서 익숙해져야한다.
익숙하지 않으면 괜히 헷갈리기만 해서
이도저도 못하다가 시간날려먹고 결국 못푼다.
그래서 축돌리기 풀이가 뭐냐면
축을 경사면이 x축이 되도록 돌려버리는것이다.
잘 쓰면 식도 깔끔해지고 풀이시간도 단축된다.
따라서 이 경우엔
x방향 운동도 가속도가 있는 운동으로 풀어야하고
가속도의 크기도 경사면의 각도에 따라
삼각비를 잘 적용해서 구해야한다.
내 개인적인 의견으로는
많은 연습으로 숙련시킨게 아니면이게 아주 유의미할정도의 시간 단축이 있지도 않고
오히려 실수하기 쉬운 풀이이다.
이 풀이 체화할시간에 포물선 기출 한바퀴 더돌릴 수 있다.
즉 가성비가 별로다.
고정적으로 만점을 받고싶은 극상위권이 아니면 추천하지 않는다.
물론 비효율적인 풀이법이라는말은 아니고
잘 써먹으면 정말 좋은데
일단 2등급 이하는 이 풀이를 이해하는거 자체가 어려울것이며
수능날 20번문제에 도달하는것조차 못하는 경우가 대부분이기 때문에
당장 더 부족한 부분을 채우라는 말이다.
따라서 답은 5번
11 )
1. 하던대로 정석 풀이
따라서 답은 2번
2. 일명 중력끄기
무슨말이냐면
A가 중력이 없다면 초속도 그대로 갈텐데
초속도로 3t0_ 갔을때의 변위벡터와
중력에 의한 변위벡터를 벡터합하면
결국 같은 결과이니
이를 이용해 삼각비로 쉽게 풀겠다는것이다.
B도 똑같다.
대충 이렇게 풀겠다는건데
사실 정석풀이와 식 자체는 아무 차이가 없는 풀이이다.
개인적으로 축돌리기보다 더 가성비 안좋은 풀이라고 생각한다.
어차피 어떻게든 풀기만 하면 되니까
이게 더 편하다 생각하면 이렇게 풀면된다.
그냥 취향이다.
다만 그냥 정석대로 따라가면 답이 나오는데
굳이 뭔가 깔끔해보이고 잘해보이는 풀이를 연구할 필요가 없다는게 내 입장이다.
수험생이라면 이런거 연구할 시간에 기출 한바퀴 더돌던가 영어 단어를 더 외우자.
어쨌든 답은 2번
'물리II > I. 역학적 상호 작용' 카테고리의 다른 글
| 물체의 운동 #5 - 케플러 법칙과 만유인력 (0) | 2021.08.24 |
|---|---|
| 물체의 운동 #4 - 단진자 (0) | 2021.08.24 |
| 물체의 운동 #3 - 등속 원운동 (0) | 2021.08.23 |
| 힘과 운동 #2 - 물체의 평형 (0) | 2021.08.21 |
| 힘과 운동 #1 - 힘의 합성과 분해 (0) | 2021.08.20 |
