물체의 운동 #4 - 단진자

 

원래 있던 '단진동'이 사라지면서 문제가 쉽게 출제되고있는 곳이다.

단진동을 설명하기 위해 복잡한 개념을 들고와야하는데

단진동이 사라지며 그럴 필요가 없어져서 그냥 암기단원이 됐다.

 

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- 진자(pendulum) -

 

진동자의 준말로 고정된 한 축이나 점의 주위를 일정한 주기로 진동하는 추이다.

우리가 다룰건 진자중에서도 아주 특수한 케이스인 '단진자' 이므로

그냥 이게 진자구나 하고 넘어가면 된다.

 

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- 단진자(single peldulum) -

이상적인 진자의 운동이라 생각하면 되는데

여기서 이상적인 진자라는거는

1. 줄의 질량은 무시할수 있을정도로 작다.

2. 추는 부피가 없는 하나의 질점으로 취급한다.

3. 운동은 2차원에서만 일어난다.

4. 저항, 마찰력 등에 의한 에너지 손실이 없다.

5. 균일한 중력장 속에서의 운동이다.

6. 축은 고정되어 있다.

 

우리가 여태 운동하는것들 기술할때

다 줄의 질량 무시하고 풀었고

돌림힘 단원 제외하면 다 물체의 크기는 무시하고 풀었고

최대 2차원 운동까지만 다뤘고

공기저항 마찰력 무시하면서 풀었고

어디서나 중력가속도는 g고

원운동할때 축은 고정되어있는

아주 이상적인 상황들 뿐이었고

단진자도 크게 다르지 않다.

 

 

외워야 할 식은 이 두개다.

특히 주기(T)는 무조건 외워야한다.

이걸 유도하려면

일단 원운동의 기술부터 시작해서

또 여러가지 많은 설명이 필요해서

그냥 외우면 된다.

이 식을 유도하기까지의 최종적인 과정이

이건데 왜 여기에 구심력 식이 들어가는지

왜 부호는 마이너스인지

다 설명하려면

이 글은 배보다 배꼽이 더 커져버리기 때문에

생략한것이다.

사실 대충하는거같아서 좀 미안하긴한데

교육과정을 이따위로 만들어놓은걸 어떡해

어차피 단진동이 삭제된 순간부터

여기서 절대 깊이있는 문제를 낼 수 없다.

ℓ : 줄의 길이

g : 중력에 의해 받는 아래방향 가속도

대부분 아무것도 없는 중력장이니까

대부분 중력에 의해 받는 아래방향 가속도는 중력가속도 g이고

따라서 g가 들어간 식으로 외우는것이다.

나중에 '관성력' 이라는걸 할때

이거랑 연계돼서 나오는 경우가 많다.

그래서 중력가속도가 아니라

중력에 의해 받는 아래방향 가속도라 적은거다.

관성력 단원 하다보면 무슨 말인지 알거다.

 

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- 핵심 -

 

1. 그냥 암기해놓고 예제 풀면서 감 잡으면 된다.

 

2. 대부분 그냥 중력가속도 g인 중력장이니까

결국 실의 길이 ℓ 만이 주기를 결정하는 변수이다.

즉 '관성력'이라는게 개입한다거나

경사면에서 단진동시킨다거나 해서

중력에 의해 받는 아래방향 가속도가 g가 아닌 경우를 제외하면

실의 길이 빼고는

아무것도 주기를 변화시키는 변수가 되지 않는다.

 

3. 실의 장력과 물체의 운동 방향은 수직이므로

실이 물체에 하는 일은 0이다.

따라서 물체의 역학적 에너지는 보존된다.

 

4. 단진동 하는동안 운동에너지의 변화

이런식으로 단진동한다고 해보자.

이때 최저점 O에서 물체의 운동에너지는?

 

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- 예제 -

 

1 )

2018년 4월 모의고사 13번

 

주기는 실의 길이에만 관련 있고

질량은 아무상관없다.

이 식을 만족한다.

따라서 A와 B의 주기는 같고

C의 주기는 B보다 크다.

따라서 Ta=Tb<Tc 이고

 

답은 1번

 

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2 )

2017학년도 9월 평가원 4번

 

ㄱ)

추의 역학적 에너지는 보존된다.

A가 최저점이므로

당연히 최저점에서의 운동에너지가 가장 크고

따라서 속력도 가장 크다.

따라서 ㄱ(o)

 

ㄴ)

B가 최고점이라는데

그렇다는건 B 지점에서 정지했다는거고

그렇다는건 B지점에서 순간속력이 0이라는건데

거기서 알짜힘까지 0이면

속력은 계속 0이라 B지점에서 정지해있어야 한다.

근데 그렇지 않으므로

ㄴ(x)

 

ㄷ)

주기를 T라 하면

B에서 출발해서 다시 B로 도달할때까지의 시간이 T이다.

따라서 B에서 A까지 이동하는데 걸린 시간은

T/4 이다.

따라서 걸린 시간은

따라서 ㄷ(x)

 

따라서 답은 1번

 

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3 )

2021학년도 9월 모평 3번

 

ㄱ)

이 문제는 함정이 있다.

추의 중력 퍼텐셜 에너지-시간 그래프 이다.

단진동하는 추가 최고점에 도달할때마다

중력퍼텐셜에너지는 최고치를 찍을것이다.

따라서 이 추는

한 주기동안 중력퍼텐셜에너지의 최고치를 두 번 찍는다.

따라서 진자의 주기는

중력퍼텐셜에너지가 최고치를 찍는 첫번째 지점인 2t0_가 아니라

두번째 지점인 4t0_이다.

따라서 ㄱ(x)

 

ㄴ)

추의 역학적에너지는 보존되는데,

3t0_일때 추의 중력퍼텐셜에너지가 최저인걸 볼 수 있다.

즉 운동에너지가 최대라는말

따라서 ㄴ(o)

 

ㄷ)

추의 역학적에너지는 보존된다.

실이 하는 일이 0이니까.

따라서 ㄷ(x)

 

따라서 답은 1번

 

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4 )

2021학년도 수능 12번

 

ㄱ)

각의 관계가 이렇다는건

A+B+(A와B를 잇는 실) 이 물체들의 질량중심이

오른쪽으로 쏠려있다는 뜻이다.

쉽게 말해서 B가 더 무거우니까 B쪽으로 쏠린것이다.

잘 모르겠으면 B의 질량이 엄청 크다고 해보자.

당연히 B쪽으로 무게가 실리게 된다.

따라서 A의 질량이 B보다 작다.

따라서 ㄱ(o)

 

ㄴ)

위 식을 만족하는데

A와 B가 같은 높이에 정지해있었다 했으므로

실의 길이는 A>B이다.

따라서 주기도 A>B이다.

따라서 ㄴ(o)

 

ㄷ)

실의 길이가 A>B 이므로

A의 최저점이

B의 최저점보다 낮다.

즉 A가 B보다 많이 내려간다.

역학적에너지 보존식을 쓰면

(mv²)/2 = mgh 이므로

v = sqrt(2gh) 이고

속력과 질량은 관계가 없음을 알 수 있다.

따라서 더 많이 내려간 A가

최대 속력이 더 크다.

따라서 ㄷ(o)

 

따라서 답은 5번

 

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5 )

2014년 7월 모의고사 4번

 

내가 주기 식에서

이렇게 적어놨지만

어디까지나 저 g는

중력에 의해 받는 아래방향 가속도인데

대부분 중력가속도 g라서

일단 g를 넣어서 외우는거라고 했었다.

결론이 뭐냐면

저기서 주기 식을 쓸때

중력에 의해 받는 아래방향 가속도가 g가 아니라는걸 알아야 한다는것이다.

저 단진자 운동의 주기 식을 쓰면 이렇게 된다.

ㄱ)

ϕ만 감소시키면 sinϕ가 감소하므로

주기는 길어질것이다.

따라서 ㄱ(o)

 

ㄴ)

물체가 중력에 의해 경사면 아래방향으로 받는 힘의 크기가

mgsinϕ 이므로

ϕ만 감소시키면 mgsinϕ의 값이 감소하고

따라서 장력도 작아진다.

따라서 ㄴ(x)

 

ㄷ)

물체의 질량과 주기는 아무 관계가 없다.

따라서 ㄷ(x)

 

따라서 답은 1번