연립일차부등식

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- 개요 -

말 그대로 여러개의 일차부등식을

어떻게 연립하느냐를 공부할거다.

근데 일차부등식은 풀줄 아니까

부등식을 연립하는법만 알면 된다.

 

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- 중등수학 복습 : 부등식의 성질과 일차부등식의 풀이 -

우선 부등식의 기본 성질부터 복습해보자.

 

1. 부등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼줘도

부등호의 방향은 바뀌지 않는다.

2. 부등식의 양변에 같은 수를 곱하거나 나눌때,

양수를 곱하면 부등호의 방향이 바뀌지 않고

음수를 곱하면 부등호의 방향이 바뀐다.

 

사실 더 적으려면 더 있겠지만

지극히 상식적인거라 좀만 생각해보면 되는것

 

중학수학에서 우리가 이걸 이용해서

일차부등식 ax>b 를 풀었었다.

ax>b 에서 좌변에 x만 남기기 위해 양변에 a를 나눠주면

a가 양수라면 부등호방향 그대로. 따라서 x>b/a

a가 음수라면 부등호방향 반대. 따라서 x<b/a

a=0 이라면, ax=0이고

따라서 0>b 로 바뀌게 된다.

그러면 만약 b가 음수라면 항상 성립하게 될것이고

b가 양수라면 해가 없을것이다.

 

 

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- 연립부등식 -

일단 연립부등식이 뭔가?

 

연립방정식과 같은 맥락이다.

연립방정식 : 여러 개의 방정식을 한 쌍으로 묶어서 나타낸것

이것의 근은, 묶여있는(연립되어있는) 모든 방정식을 동시에 만족시키는 값

 

연립부등식 : 여러 개의 부등식을 한 쌍으로 묶어서 나타낸것

그리고 이것의 근(해)는,

묶여있는(연립되어있는) 모든 부등식을 동시에 만족시키는 값

따라서 그냥 연립방정식과 똑같은 느낌으로 처리하면 된다.

 

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- 연립일차부등식 -

연립부등식이긴 한데

일차부등식으로만 이루어진 연립부등식을

연립일차부등식 이라고 한다.

푸는법이 뭐라고?

연립되어있는 모든 부등식을 동시에 만족시키는 값

 

직접 풀어보자.

 

연립부등식의 해는

연립되어있는 모든 부등식을 동시에 만족시키는 값을 찾으면 된다.

x>3 과 x<5 를 둘다 만족시키면 된다.

x가 3보다 크면서

x가 5보다 작다고 한다.

따라서 x는 3보다 크고 5보다 작다.

따라서 답은 3<x<5 이다.

 

 

요약하자면, 연립부등식을 푸는 법은

모든 부등식을 동시에 성립시키도록 하는 값을 구하면 된다.

 

 

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- 심화 : A<B<C 꼴의 부등식 -

A<B<C 라는거는

1. A가 B보다 작다.

2. A가 C보다 작다.

3. B가 C보다 작다.

라는 뜻이다.

이중 하나라도 만족하지 않으면 저런 부등식이 나올수 없다.

그니까 저 3개를 동시에 만족하니까 저런 부등식이 나오는것이다.

 

즉, A<B<C 꼴로 나타내어진 부등식은

'연립부등식'으로 볼수 있으며

연립부등식으로 나타내면 아래와같이 된다.

근데 여기서 부등식 하나는 그냥 없애도 된다.

왜냐면 생각을 해보자.

A가 B보다 작다.

그리고 B가 C보다 작다.

그럼 A가 C보다 작다는건

논리적으로 너무 당연한거 아닌가?

따라서 저 연립부등식에서 A<C를 없애버려도 아무 지장이 없다.

B가 A보단 큰데 C보단 작다는것만 나타낼수 있으면 되는거다.

 

따라서 결론은,

A<B<C 꼴의 부등식은

'연립부등식' 으로 볼 수 있으며

B가 A보다는 큰데 C보다는 작습니다. 라는 뜻이므로

아래와 같이 나타낼수 있다.

 

 

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- 예제 -

1 )

 

연립부등식은 어떻게 푼다?

연립된 모든 부등식을 동시에 만족시키는 x값을 찾는다.

그러려면 저 두 부등식을 각각 푼다음

그 두개를 동시에 만족시키도록 마무리만 해주면 되는거다.

 

위쪽 부등식의 해는

양변에 1 빼주면 x<5 이다.

아래쪽 부등식의 해는

5x-2 < 2x-8 에서 -2랑 2x 이항해서 정리하면

x<-2 이다.

따라서 x<5와 x<-2 를 동시에 만족시키는게 이 연립부등식의 해이다.

x가 5보다 작다. x가 -2보다 작다.

둘다 성립하려면

x가 -2보다 작다. 가 되어야한다.

따라서 답은 x<-2

 

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2 )

 

위의 부등식부터 풀면 x<-3

아래쪽 부등식은

양변에 -2 곱하면 부등호 방향 반대로해서 x>-3

따라서 x<-3과 x>-3 을 동시에 만족하는게 이 연립부등식의 해이다.

x가 -3보다 작은데 동시에 x가 -3보다 커야한다.

말이 안된다. 즉 공통부분이 없다.

따라서 답은 '해가 없다'

 

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3 )

 

A<B<C 꼴의 부등식이다.

3x+2가 -10보다 크거나 같고

3x+2가 4보다 작아야한다.

따라서 연립부등식을 세워서 풀어야 되겠다고 추론할수 있다.

연립부등식을 세웠으니 풀기만 하면 된다.

 

위쪽 부등식을 풀면

우선 양변에 2 빼주면 3x≥-12

양변에 3 나눠주면 x≥-4

 

아래쪽 부등식을 풀면

양변에 2 빼주면 3x<2

양변에 3 나눠주면 x<2/3

 

따라서 이 연립부등식의 해는

x≥-4 와 x<2/3 를 동시에 만족시키는 x값이다.

x가 -4보다 크거나 같은데 2/3보단 작다.

따라서 답은

-4≤x<2/3

 

 

그리고 연립부등식과 부등식의 성질에 대한 정확한 이해가 있다면

굳이 저렇게까지 연립부등식 안세워도 그냥 풀수있다.

A<B<C면 등식의 성질에 의해

A-2<B-2<C-2 일거 아닌가?

따라서 -10 ≤ 3x+2 < 4 여기서

각각에다가 2를 빼주면

-12 ≤ 3x < 2

그리고 A<B<C 면 등식의 성질에 의해

A/3 < B/3 < C/3 일거 아닌가?

따라서 -12 ≤ 3x < 2 여기서

각각에다가 3을 나눠주면

답은 -4≤x<2/3