이차부등식 #2 - 이차부등식의 풀이, 항상 성립할 조건

---

- 개요 -

이번엔 이차부등식을 푸는 방법,

그리고 이차부등식이 항상 성립할 조건 을 다룰것이다.

 

---

- 이차부등식의 풀이 -

이차방정식 풀때와 비슷하게 가면 된다.

 

이차방정식을 풀때와 마찬가지로 하면 된다.

x²+3x-4 의 그래프를 그렸을 때

그 그래프가 x축보다 아래에 있게 되도록 하는 x값을 구하라는거다.

그럼 그래프를 그려볼까?

그래프를 그리려면 꼭짓점을 찾아야한다.

따라서 꼭짓점은 (-3/2, -25/4) 이다.

이걸 이용해 그래프를 그리면

여기서 우리가 알고자 하는것은

0보다 작은곳이니까 색칠한 부분이다.

색칠한 부분이 어딘지 알려면

꼭 알아야하는것이

저 '그래프가 x축과 만나는 지점'이다.

저 지점을 기준으로 x축 위아래로 나뉘기 때문이다.

따라서, 다음과 같은 결론을 얻는다.

이차부등식을 풀때도, 이차방정식을 풀듯이

우선 주어진 식의 값이 0이 되도록 하는 '근'을 구해야한다.

이차부등식은 여기서 구한 근을 기준으로

여기서 0보다 크다 작다만 범위로 나눠주면 되는거다.

 

따라서

이것의 근부터 구해보겠다.

이차방정식에서 많이 다뤘으니 과정 생략

근은 x=-4, x=1 이다.

이제 아까 그려놓은 그래프에서

그래프가 x축과 만나는 지점을 표시할 수 있다.

그럼 색칠한 부분은?

-4보단 크고 1보단 작은곳

따라서 답은 -4<x<1 이다.

 

여기까지 결론내자면,

이차부등식을 풀 때는

그래프를 그려서 푸는게 직관적이고 쉬우며,

여기서 그래프를 그릴때는 꼭짓점보단 x축과 만나는 지점을 찾아서 그리자.

 

추가로, 이게 숙련되면 굳이 그래프를 안그려도 척 보고 풀수 있게되는데

그건 내가 알려주지 않아도 알아서 할수 있게 된다.

 

---

- 연습 -

 

그래프를 그릴거고

이차부등식을 풀거니까 x축과 만나는 지점을 알아낼것이다.

2x²-7x+3=0 을 만족하는 지점을 찾겠다는것이다.

2x²-7x+3 = (2x-1)(x-3) 이고

따라서 x축과 만나는지점은 x=1/2, x=3

그리고 이차항의 계수가 양수이므로

그래프가 아래와 같이 그려질것이다.

여기서 우리가 구하고자 하는건

저 식의 값이 0보다 크거나 같은 값

즉 그래프가 x축에 있거나 x축보다 위에 있도록 하는 x값이다.

그런 x값은 위 그림처럼 빨갛게 칠한부분이다.

따라서 답은 x≤1/2 또는 x≥3

 

 

---

- 이차부등식이 항상 성립할 조건 -

우선 이차부등식이 항상 성립한다는건 무슨말인가?

이 문제를 풀어볼까?

우선 그래프를 그리려고 x축과 만나는 지점(근)을 찾아보려 했는데 없다.

실제로 그래프를 그리면 아래와 같이 그려진다.

x축과 만나지 않는다.

근데 문제를 보자.

0보다 큰 x값을 찾으란다.

근데 그래프에서도 보이듯이

항상 0보다 크기때문에

저런건 '항상 성립하는 부등식' 이 되는것이다.

 

그래서 항상 성립할 조건이 무엇인가?

이건 '이차방정식의 근' 과 깊은 연관이 있다.

왜냐면 이차방정식의 근이 곧 x축과 만나는 지점이기 때문이다.

x축과 만나지 않는다면, 항상 x축보다 위에있거나 아래에 있을거고

만약 아까 예로든것처럼 항상 x축보다 위에있는데

0보다 큰 범위를 구해라? 항상 성립하는거니까 모든 실수이다. 라고 하면되는거고

항상 x축보다 위에있는데 0보다 작은 범위를 구해라?

절대 성립할수 없으므로 해가 없다. 라고 하면 되는거고

항상 x축보다 아래에있는데 0보다 작은 범위를 구해라?

항상 성립하므로 모든 실수이다. 라고 하면 되는것이다.

 

그럼 이제 그래프가 항상 x축 위에있는지, 아래에 있는지만 구할수 있으면 된다.

그건 간단하다. 이차방정식의 근 = x축과 만나는점

따라서 이차방정식이 두 실근을 갖는다면 x축과 두번 만나는거고

두 허근을 갖는다면 x축과 만나지 않는거고

중근을 갖는다면 x축과 접할것이다.

 

 

---

- 예제 -

1 )

 

우리가 다루고싶은건 우변이 0인 이차부등식이다.

따라서 우변의 4x를 이항한다.

이제 이걸 풀면 된다.

x²-4x+4 의 값이 0보다 작게 하는 x값은?

즉 x²-4x+4 의 그래프가 x축에 있거나, x축보다 아래에 있게 하는 x값은?

우선 x축과 만나는 지점을 알아야 하니까

x²-4x+4=0 을 만족하는 x값부터 찾자.

그런 x값은 x=2 이다.

얘는 중근을 갖는것이다.

따라서 그래프를 그려보면 아래처럼 될것이다.

이 그래프가 x축에 있거나 x축보다 아래에 있도록 하는 x값은

x축과 만나는 지점인 x=2 뿐이다.

따라서 답은 x=2

 

---

2 )

 

모든 실수 x에 대하여 저 이차부등식이 성립하려면

저 이차식의 그래프를 그렸을 때

항상 x축보다 위에 있어야하며

이는 저 이차식을 가지고 이차방정식을 세우면

두 허근을 갖게 될거라는 뜻이다.

따라서 얘가 허근을 가지도록 하는 k값을 구하면 된다.

허근을 갖는다 = 판별식의 값이 0보다 작다.

D<0 , D = b²-4ac

여기서 b=-4 이고 a=1 이고 c=k+2 인 거니까

아래와 같은 부등식을 세울수 있다.

저건 k에 대한 일차부등식이다.

이정도는 그래프 안그려도 부등식의 성질만으로 풀수 있다.

따라서 답은 k>2