힘과 운동 #3 - 뉴턴 운동 법칙

 

지금부터 알아볼 것은

내용 자체는 아주 쉽지만

물리학에서 물체의 운동을 기술하는데 꼭 알아가야 할 기본 소양이기도 하고

수능에서 이 다음에 배울 역학적에너지 보존과 엮어놓은 킬러문제가 고정적으로 출제되고있기 때문에

꼭 숙지해야한다. 아주 중요하다.

 

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운동법칙을 알아보기 전에

물체를 운동시키는 요인

즉 가만히 있는 물체를 운동시키거나

운동하는 물체의 속도를 변화시키는 요인

 

즉 물체의 운동 상태를 변화시키는 것인

'힘'에 대해 간략하게 알아보자.

 

- 힘 -

 

힘이란, 물체의 운동 상태나 모양을 변화시키는 원인이다.

Force의 약자인 F로 표기한다.

힘은 벡터이다. 따라서 크기와 방향을 갖고있는 물리량이다.

 

알짜힘(Net force) 또는 합력(合力)은

물체에 작용하고 있는 모든 힘들의 벡터를 합하여 계산한 것이다.

이렇게 계산된 알짜힘은 실제 물체에 작용되는 힘의 크기와 방향을 나타낸다.

쉽게 말해서 알짜힘 = 합력 = 힘의 벡터합

지금 여러분이 가만히 서있을수 있는건

여러분에게 작용하는 알짜힘이 0이기 때문이다.

이때 작용하는 힘은

여러분에게 작용하는 중력, 바닥이 여러분을 떠받치는 힘 정도가 되겠다.

 

 

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- 뉴턴 운동 법칙 -

 

뉴턴 운동 법칙(Newton's laws of motion)은 물체의 운동을 다루는 세 개의 물리 법칙이다.

 

 

- 제1법칙 : 관성 법칙 -

 

관성 법칙 : 물체의 질량 중심은 외부 힘이 작용하지 않는 한 일정한 속도로 움직인다.

쉽게 말해서

물체에 작용하는 알짜힘(합력)이 0이면

정지해 있던 물체는 계속 정지해있고

운동하던 물체는 속도 변화 없는 등속도운동을 한다.

관성 : 물체가 자신의 운동 상태를 계속 유지하려는 성질

 

 

- 제2법칙 : 가속도 법칙 -

 

가속도 법칙 :

물체의 가속도(a)는 물체에 작용하는 알짜힘의 크기(F)에 비례하고,

물체의 질량(m)에 반비례한다.

이를 수식으로 쓰면 '물리'하면 대부분 가장 먼저 떠올리는 F=ma이다.

엄밀히 말하자면 운동 간 물체의 질량이 변할 수 있기 때문에

이렇게 써야하지만

고등물리 수준에서 질량이 변하는 경우는 없으므로

그냥 F=ma고 이 식의 의미만 이해하고 넘어가면된다.

 

상당히 중요하기 때문에 한번 더 강조한다.

F=ma

F : 물체에 작용하는 '알짜힘'

m : '운동하는 물체의 질량'

a : '운동하는 물체의 가속도'

 

너무 쉬워보이는데 이렇게 강조하는 이유는

F=ma, F=ma 암기식으로 때려박은 수준으로는 절대 문제를 못풀기때문이다.

F=ma만 가지고 이런 문제가 출제된다. 이건 아래 예제로 넣어서 풀어주겠다.

 

 

- 제3법칙 : 작용 반작용 법칙 -

 

힘은 두 물체 사이의 상호작용이므로 항상 쌍으로 작용하는데,

예를 들어

A가 B에게 힘을 작용하면

동시에 B도 A에게 같은 크기의 힘을 작용한다.

수식으로 나타낸 것

여러분이 서 있을 수 있는 이유도 작용 반작용 때문이다.

여러분이 땅을 미는 힘과

땅이 여러분을 떠받치는 힘이 작용 반작용 관계에 있고

이것이 힘의 평형을 이루고 있는것이다.

땅이 여러분을 떠받치는 힘이 없다면

여러분은 땅을 뚫고 아래로 계속 내려갈것이다.

 

작용 반작용의 특성

1. 작용과 반작용은 항상 크기가 같고 방향은 반대이다.

2. 작용과 반작용은 항상 동일 직선상에서 서로 다른 두 물체 사이에 작용한다.

3. 작용과 반작용은 힘의 작용점(말 그대로 힘이 작용하는곳)이 서로 다른 물체에 있으므로 합성할 수 없다.

4. 작용과 반작용은 모든 힘에 대해 성립하며, 물체의 운동 상태에 관계없이 항상 성립한다.

 

 

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- 오개념 주의 -

 

'힘의 평형'과 '작용 반작용'은 다르다.

앞에서 힘의 평형을 다루지 않아서 헷갈릴 수 있는데

힘의 평형 : 물체에 작용하는 여러가지 힘의 합력이 0인 상태

작용반작용 : 물체 A가 물체 B에 힘을 작용하면 같은 크기의 힘을 B가 A에게 작용한다.

 

예를 들어 물체 A가 책상에 가만히 올려져있다.

A는 힘의 평형을 이루고 있다. (o)

A가 책상을 미는 힘과 책상이 A를 떠받치는 힘은 힘의 평형 관계이다. (o)

지구가 A를 당기는 힘과 책상이 A를 떠받치는 힘은 힘의 평형 관계이다. (o)

A가 책상을 미는 힘과 책상이 A를 떠받치는 힘은 작용 반작용 관계이다. (o)

지구가 A를 당기는 힘과 책상이 A를 떠받치는 힘은 작용 반작용 관계이다. (x)

지구가 A를 당기는 힘과 A가 지구를 당기는 힘은 작용 반작용 관계이다. (o)

 

 

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- 문제풀이 꿀팁 -

 

힘은 벡터량이다 = 힘은 방향을 갖는다

즉 운동을 수식으로 나타낼때

양의 부호 +와 음의 부호 -를

양수와 음수보단 양의 방향, 음의 방향으로 해석하는게 좋다.

쉽게 예를 들어 설명해주자면

질량 m인 물체가 실을 달고 천장에 매달려서 정지해있는 상황이라 해보자.

 

이때 물체에 작용하는 힘은

1. 중력 mg

2. 실이 물체를 당기는 힘 T

 

여기서 힘의 양의 부호를 아래방향으로 잡으면

mg는 아래방향 힘이고

T는 위쪽방향 힘이므로

중력과 실이 물체를 당기는 힘의 합력은

(+mg) + (-T)이 된다.

정지해있으므로 알짜힘은 0이고

(+mg) + (-T) = 0이고

따라서 mg=T이다.

아마 거의 모든 문제를 이런식으로 풀게될테니 금방 익숙해질것이다.

 

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- 계(system) - 

 

계 : 일정한 상호 작용이나 서로 관련이 있는 물체들의 모임

말을 어렵게해놔서 확 와닿지 않을텐데 그냥 쉽게쉽게 가자.

'관찰하려는 것' 정도로 생각하면 된다.

계는 A라는 공간이 될수도 있고 B라는 물체가 될수도 있다.

이걸 왜 문제풀이 꿀팁 에 넣었냐면

이게 원래 열역학 할때 처음 나오는 개념인데

교육과정에 문제가 있다고 생각한다.

'계'에 대한 이해가 없으면 이 단원 문제 못푼다.

예를들어서 A와 B가 실로 연결되어서 같이 움직이는 상황이라 해보자.

이때 '계'를 A+B+실 로 잡을것인지

'계'를 A 로 잡을것인지

이런 사고 과정이 필요한데

이 단원에서는 '계'에 대한 언급조차 없다.

너무 불친절하다.

나 포함 대부분은

A와 B가 실에 연결되어 움직이는데

A+B+실을 하나의 '계', 즉 (A+B+실) 한 물체가 움직이는 것으로 해석할수도 있다

라는걸 생각해내는 지능이 안된다.

나도 답지 풀이 보기 전까지는 문제풀이에 아예 감을 못잡았다.

'계'에 대한 이해가 없었으니까

 

 

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- 예제 -

 

1. 최소 3점에서 최대 킬러급 문제가 출제되는곳이니 한번에 이해 안된다고 상심하지 말것

어려운 문제를 한번에 이해할수 있을정도로 쉬우면 다 만점받았다.

 

2. 포기하지 말것

물리 문제풀이에 대한 전반적인 직관력과 이해력이 크게 향상되는곳이다.

그리고 얘가 1단원에 있는건 이유가 있다.

어차피 이거 못하면 뒤쪽도 못한다.

수포자들이 수학을 포기하는 이유는 간단하다.

어려워서 한두개씩 빼먹었더니

뒤에 빼먹었던거 또나오고 또나와서 진도를 따라가지 못하는것이다.

 

쉬운것부터 킬러급까지 준비했다.

 

 

1 )

2016학년도 9월 모평 1번

 

-문제풀이 단서-

거미가 등속도 운동을 하고있다.

 

ㄱ) 거미가 등속도 운동을 하고있다 = 가속도가 없다 = 알짜힘이 0이다.

따라서 ㄱ(o)

 

ㄴ) 거미라 실에 작용하는 힘과

실이 거미에 작용하는 힘은

작용 반작용 관계이므로 힘의 크기가 같다.

따라서 ㄴ(o)

 

ㄷ)

ㄱ에서 알짜힘(합력)이 0인것을 알았다.

합력이 0이라는건 힘의 평형 관계라는 뜻이다.

그림에서 거미에 작용하는 힘은

1. 실이 거미를 당기는 힘

2. 중력

합력이 0이므로 실이 거미를 당기는 힘의 크기 = 중력의 크기

따라서 ㄷ(x)

 

따라서 답은 3번

 

 

2 )

2019년 10월 학평 2번

 

-문제풀이 단서-

1. 책이 정지해 있다.

2. 책을 벽에 대고 손으로 수평 방향으로 밀었다.

 

ㄱ)

정지해 있다는건 합력이 0이라는것

정지해있는것과 중력은 관계가 없다.

질량을 가진 모든 물체는 중력을 받고있다.

따라서 ㄱ(x)

 

ㄴ)

정지해 있다 = 알짜힘이 0이다

따라서 ㄴ(o)

 

ㄷ)

아까 오개념주의에서 다뤘던 내용이다.

손이 책을 미는 힘과

벽이 책을 미는 힘은

힘의 평형 관계이다.

손이 책을 미는 힘과 작용반작용 관계에 있는 힘은

책이 손을 미는 힘이다.

따라서 ㄷ(x)

 

따라서 답은 2번

 

 

3 )

2021학년도 9월 모평 9번

 

-문제풀이 단서-

1. 물체 A, B는 모두 정지해있다.

2. 수평면과 나란하고 크기가 F인 힘으로 A, B를 밀었다.

3. A와 B의 질량의 관계가 주어졌다.

 

ㄱ)

이것도 오개념주의에서 다룬것이다.

벽이 A를 미는 힘의 반작용은

A가 벽을 미는 힘이다.

따라서 ㄱ(x)

 

ㄴ)

벽이 A를 미는 힘의 크기와 B가 A를 미는 힘의 크기는 같은가?

A는 정지해있다. 즉 A에 작용하는 알짜힘은 0이다.

A에 작용하는 힘은

1. 벽이 A를 미는 힘

2. B가 A를 미는 힘

두 힘의 크기가 같아야 알짜힘이 0이고, 정지해있을수 있다.

 근데 정지해있으므로 알짜힘은 0이고 두 힘의 크기는 같다.

따라서 ㄴ(o)

 

ㄷ)

A가 B를 미는 힘의 크기는 2F/3인가?

B에 작용하는 힘을 정리해보자.

1. B에 직접 작용하는 F

2. A가 B를 미는 힘

B는 정지해있으므로 두 힘의 크기는 같다.

따라서 A가 B를 미는 힘의 크기는 F이다.

따라서 ㄷ(x)

 

따라서 답은 2번

 

 

여기까진 기본개념 수준이고

3점짜리수준으로 난이도를 올려보겠다.

처음 공부하는사람들은 이 수준에서 막혀도 정상이다.

아 이게 이말이었구나 라는걸 이해하는 순간까지

꽤 많은 문제풀이가 필요한 단원이다.

 

4 )

2021학년도 수능 10번

 

-문제풀이 단서-

1. 가, 나 둘다 물체가 정지해있다.

2. 저울에 측정된 힘의 크기의 관계가 언급되어있다.

 

ㄱ)

A에 작용하는 중력(=지구가 A를 당기는 힘)과 작용 반작용 관계인것은

A가 지구를 당기는 힘이다. 따라서 ㄱ(x)

 

ㄴ)

B는 정지해있으므로

B가 A의 작용하는 힘의 크기 = A가 B에 작용하는 힘의 크기

A도 정지해있으므로

A에 작용하는 힘은

1. F

2. 중력

3. B가 A를 미는 힘

아까도 말했지만

힘은 벡터이므로 방향에 맞게 양의 부호, 음의 부호를 정해서

식을 잘 세워야한다.

연직 아래방향 힘의 합력의 크기 = 연직 위방향 힘의 합력의 크기

따라서 F+A의 무게(중력) = B가 A를 미는 힘

따라서 B가 A에 작용하는 힘의 크기는 F보다 큰 'F + A의 무게' 이다.

따라서 ㄴ(x)

 

ㄷ)

(가)에서 저울에 작용하는 힘 = A의 무게 + B의 무게

(나)에서 저울에 작용하는 힘 = A의 무게 + B의 무게 + F

(나)에서 측정된무게가 (가)에서의 2배이므로

A의 무게 = Wa, B의 무게 = Wb라 하면

2(Wa+Wb) = Wa+Wb+F

따라서 Wa+Wb = F

따라서 (나)에서 측정된무게 = Wa+Wb+F = 2F

따라서 ㄷ(x)

 

따라서 답은 2번

 

 

5 )

2014년 7월 학평 4번

 

-문제풀이 단서-

1. (가)의 A는 수평면에 올려져있고, (나)의 A는 도르래에 매달려있다.

2. (가)와 (나)의 가속도의 크기는 같다.

 

C의 질량을 M이라 놓고

우선 A,B의 질량이 둘다 m이라 주어졌으므로 (가)의 가속도를 구할 수 있다.

(가)의 가속도 구하기

'F=ma'

여기서 F : 알짜힘

m : 물체의 질량

a : 가속도

라고 했다.

따라서 이 운동에서 F : mg(B에 작용하는 중력)

m : m+m=2m

A,B는 같이 운동하므로 물체의 질량은 2m이다.

A+B+실을 하나의 '계'로 보는 것이다.

앞으로의 문제도 이런식으로 풀 것이다.

즉 이 운동은 총 질량 2m인 물체가 mg의 알짜힘을 받는 운동이다.

 

내가 이걸 처음 공부할때

A에도 중력과 이를 받쳐주는 힘이 존재하는데 이건 계산 안하는건가? 라는 의문이 들어서

처음에 이해하기 어려웠다.

A가 위나 아래로 움직일때가 있는가? 없다.

즉 A에 작용하는 중력과 이를 받쳐주는 힘은 위아래 방향으로 어떤 속도의 변화도 주지 못했다.

따라서 물체 A의 위아래 방향 알짜힘은 0이며,

F=ma인데 F=0이므로 위아래 방향 가속도도 0이다.

따라서 A의 운동상태 변화는 실이 A를 당기는 힘만이 관여한다.

 

a에 대해 정리하면

(나)와 (가)의 가속도의 크기가 같으므로

아까와 같은 방식으로 뉴턴 제2운동법칙 F=ma를 적용하면

F : Mg-mg

m : M+m

a : g/2

이를 수식으로 쓰면

이를 정리하면 M=3m 따라서 답은 3번

 

 

6 )

2019학년도 6월 모평 7번

 

-문제풀이 단서-

1. (가)와 (나) 모두 일정한 힘 F로 당겼다.

2. B와 C의 질량의 관계가 언급되었다.

3. (가)와 (나)의 가속도의 관계가 언급되었다.

 

ㄱ)

A의 질량을 M, B의 질량을 m, C의 질량을 3m이라 놓으면

따라서 ㄱ(o)

 

ㄴ)

B의 가속도 = C의 가속도 x 2

a=F/m을 적용하면

B의 알짜힘/m = (C의 알짜힘/3m) x 2

따라서 C의 알짜힘 = B의 알짜힘 x 2/3

따라서 ㄴ(x)

 

ㄷ)

실이 당기는 힘을 장력(Tension)이라 하고 T라고 쓰는데,

실의 장력은 실의 모든 곳에서 일정하다.

장력 : 팽팽한 정도

이정도로 이해하면 쉽다.

상식적으로 장력은 실의 모든 곳에서 같은 크기로 걸려야한다.

똑같은 실인데 어느곳은 팽팽하고 어느곳은 느슨한것이 말이 안된다.

따라서 (나)에서 실이 C를 당기는 힘의 크기 = 실이 A를 당기는 힘의 크기

(가)와 (나)에서 A의 알짜힘은 둘다 실이 A를 당기는 힘의 크기이다.

근데 가속도가 다르므로 (가)와 (나)에서의 장력의 크기도 다르다.

따라서 ㄷ(x)

 

따라서 답은 1번

 

 

7 )

2021학년도 9월 모평 10번

 

-문제풀이 단서-

1. 물체들의 질량이 주어져있다.

2. 1초일때 실이 끊어졌다.

3. 수레의 시간-속도 그래프가 주어져있다.

4. 초기속도는 0이다.

 

ㄱ)

수레의 속도의 크기를 구하기 위해

가속도를 구할 필요가 있다.

총 질량 10m인 물체가 2mg의 알짜힘을 받아 움직이고있으니

이때의 가속도는

1초일때 수레의 속도의 크기는 a x 1초 = 2m/s

따라서 ㄱ(x)

 

ㄴ)

2초일 때는 실 p가 끊어진 상태이다.

따라서 실이 끊어지는 순간부터

총 질량 9m인 물체가 mg의 알짜힘을 받아 움직이는 운동으로 바뀌었다.

이때의 가속도는

따라서 ㄴ(o)

 

ㄷ)

0초부터 2초까지 수레가 이동한 거리?

1초인 순간 실 p가 끊어졌기때문에

0초~1초일때의 운동과

1초~2초일때의 운동은 다른 운동이고

이를 나눠서 계산하는것이 쉽다.

즉 0초~1초일때 이동한 거리 + 1초~2초일때 이동한 거리를 구하라는말

0초~1초일때 이동한 거리는

1초일때 속력이 2m/s이고 0초일때 속력이 0이므로

평균속력 1m/s로 1초간 간것이다.

따라서 이때 이동거리는 1m/s x 1s = 1m

1초~2초일때 이동한 거리는

1초일때 속력이 2m/s고

가속도는 10/9이므로 2초일때 속력은 28/9(m/s)이다.

따라서 평균속력 23/9(m/s)로 1초간 간것이다.

따라서 이때 이동거리는 23/9(m/s) x 1s = 23/9 m

따라서 총 이동거리는 1 + 23/9 = 32/9 m

따라서 ㄷ(o)

 

따라서 답은 4번

 

8 )

2019학년도 수능 18번

 

-문제풀이 단서-

1. A,B,C의 질량이 주어져있다.

2. (가)에서 물체는 정지해있다.

3. 실이 끊어진 후 (나)에서 물체는 등가속도운동한다.

 

ㄱ)

A와 B의 가속도의 관계를 알려면

둘의 알짜힘의 관계를 알아야하는데

B는 경사면에 올려져있는거라

B에 경사면 방향으로 작용하는 힘의 크기를 모른다.

따라서 이때 알짜힘을 구하기는 어렵고

(가)에서 힌트를 얻어와야한다.

이름이 기니까

중력이 경사면방향으로 B에 작용하는 힘 = F라고 하겠다.

(가)에서

물체는 정지해있었다 했으므로

3mg + F = 4mg이다.

F = mg이다.

이제 (나)로 가서 가속도를 구해보자.

따라서 ㄱ(o)

 

ㄴ)

A에 작용하는 알짜힘의 크기를 Fa

C에 작용하는 알짜힘의 크기를 Fc라 하면

Fa = 3mg이고

Fa>Fc이므로 ㄴ(x)

 

ㄷ)

q가 B를 당기는 힘의 크기를 T라 하면

따라서 ㄷ(x)

 

따라서 정답은 1번

 

 

9 )

2020년 4월 학평 20번

 

-문제풀이 단서-

1. A,B,C의 질량이 주어져있다.

2. (가)에서 물체는 일정한 속력으로 운동한다.

3. (나)에서의 장력과, C의 이동거리와 A의 최고점 도달시간 사이의 관계가 언급되었다.

 

킬러문제다.

천천히 풀어보자

우선 (가)에서 등속운동 하고있으므로

가속도는 0이고 알짜힘도 0이다.

중력이 경사면방향으로 A에 작용하는 힘을 F_a

중력이 경사면방향으로 B에 작용하는 힘을 F_b

중력이 경사면방향으로 C에 작용하는 힘을 F_c

라 하면

F_a + F_b = F_c이다.

근데 A와 B의 경사각이 같으므로

F_a : F_b = 2m : m = 2 : 1이다.

따라서 F_b = F라 하면

F_a = 2F, F_b = F, F_c = 3F

 

(나)에서는 A와 B 사이의 실이 끊어져있다.

문제에서 A가 최고점에 도달하는 순간에 대한 정보가 나와있으므로

A의 가속도를 구해서 최고점 도달시간을 구해보면

실이 B를 당기는 힘을 T라하면

T=5mg/6 이고 이를 이용하여 가속도를 구하면

F를 구했으므로 t도 다시 정리하여 d를 구하면

따라서 답은 1번

 

 

10 )

2017학년도 수능 20번

 

킬러문제인데 아까보다 더 어렵다.

 

-문제풀이 단서-

1. 놀이기구의 질량이 주어져있다.

2. t=0에서 정지해있었다.

3. 시간별로 놀이기구에 작용한 힘이 언급되어있다.

4. 지면에 도달할때 놀이기구의 속력이 0이다.

 

 

이정도 난이도의 문제면

구구절절 설명 없이 스트레이트로 풀어주겠다.

두 가지 풀이법이 있다.

 

 

1. 수식으로 풀기

 

- t=0~t=T 운동 -

ma = 3mg-mg

따라서 a=2g

이때 이동거리는

초기속도 0, 나중속도 2gT

평균속도 gT로 T동안 이동한것이니

gT^2

 

- t=T~t=4T 운동 -

ma = -mg

따라서 a=-g

이때 이동거리는

초기속도 2gT, 나중속도 2gT-3gT = -gT

따라서 평균속도 (gT/2)으로 3T동안 이동한것이니

(3/2)gT^2

 

- t=4T~지면 운동 -

일단 지면에 도달할때 속도가 -gT에서 0으로 증가해있어야 하므로

F는 연직 위 방향이다.

따라서 정답은 4번

 

 

2. 그래프로 풀기

이렇게 복잡한 운동은 시간-속도 그래프를 그리면 쉽게 풀리는 경우가 많다.

 

우선 t=T일때 속력이 2gT라는것과

t=4T일때 -gT라는것까진 똑같이 구한 뒤

그래프를 그리면 되는데

'지면에 도달할 때 속력이 0이 된다'가 힌트이다.

저 빨간 빗금친부분의 윗부분과 아랫부분의 넓이가 같으며

같아지는 순간의 속력도 0이 되도록 그래프를 그리는것이다.

 

윗부분의 넓이는 2gT x 3T x 1/2 = 3gT^2이다.

따라서 아랫부분의 넓이도 3gT^2이다.

아랫부분 삼각형의 밑변을 s라 하면

3gT^2 = s x gT x 1/2

따라서 s = 6T이고 그래프를 완성할 수 있다.

 

F는 t=4T~t=9T일때 작용한다.

5T의 시간동안 gT만큼 속도를 변화시켰으므로

가속도는 g/5

g/5 = (F-mg)/m

계산하면 F=(6/5)mg