지금부터 다룰 것은
물리1에서 가장 중요하며
가장 어려운 내용이다.
최근에 물리1이 개정되며
돌림힘은 물리2로 넘어갔고
유체역학은 사라졌기때문에
사실상 거의 무조건 킬러문제가 출제되는 단원이 되었다.
운동과 식이 좀 복잡해지는데 겁먹을 필요는 없다.
- 일 -
일 : 물체에 힘을 가했을 때
힘과 힘이 가해진 방향으로 움직인 거리를 곱한 물리량을 뜻한다.
보통 W라고 쓰며 단위는 줄(J) = N x m이다.
물체에 힘을 작용하여
물체가 힘의 방향으로 이동했을 때에
물체에 작용하는 힘이
물체에 일을 하였다고 한다.
즉 일 : 힘과 변위를 내적한 값
엄밀한 일의 정의에서 알 수 있듯이
힘이 한 일의 양은
힘-이동거리 그래프에서
힘 F를 이동거리 s에 대해 적분한 값이다.
즉 일 = 힘-이동거리 그래프에서
그래프가 거리 축과 이루는 면적
일은 에너지의 이동으로도 설명이 가능한데 조금 아래에 다루겠다.
이해를 돕기 위해 여러가지 예를 들자면
1.
물체에 힘 F를 가했을때
F의 방향으로 s만큼 이동했다면 일 W는
W = Fs
2.
물체에 힘 F를 가했을때
Fcosθ 의 방향으로 s만큼 이동했으므로
일 W는
W = Fscosθ
3.
물체에 힘 F를 가했을때
-F 방향으로 s만큼 이동했으므로
일 W는
W = Fscos(180°) = -Fs
4.
물체에 힘 F를 가했을때
Fcos(90°) 방향으로 s만큼 이동했다.
근데 cos(90°) = 0 이므로
일 W는
W = Fscos(90°) = 0
따라서
힘과 물체의 이동 방향이 수직이면 W=0
그 외 W=0인 경우는
물체가 가만히 있거나
등속도 운동해서 F=0인 경우
힘을 가해도 물체가 움직이지 않아서 s=0인 경우
- 운동 에너지 -
운동에너지( kinetic energy ) : 운동하는 물체가 갖는 에너지
보통 K 또는 Ek_라 쓴다.
질량 m, 속력 v인 물체가 가지는 운동 에너지는 다음과 같다.
- 중력에 의한 퍼텐셜 에너지 -
물체가 기준점을 기준으로
기준점과 다른 높이에 있을 때
물체가 가지는 에너지
중력 퍼텐셜 에너지라고도 하며 U 또는 Ep_라 쓴다.
물체의 무게와 같은 힘 F=mg로 물체를 높이 h만큼 들어올렸다고 해보자.
이때 F가 물체에 한 일 : W = Fs = mgh이다.
물체를 들어올리는 힘이 한 일이
중력에 의한 퍼텐셜 에너지로 저장된것이다.
- 탄성력에 의한 퍼텐셜 에너지 -
탄성력에 의한 퍼텐셜 에너지 : 용수철, 고무줄과 같이
탄성력을 가진 물체의 길이가 변할 때(처음 길이보다 늘어나거나 줄어들 때) 가지는 에너지
탄성 퍼텐셜 에너지라고도 하며 U 또는 Ep_라 쓴다.
용수철이 늘어나거나 줄어들면 원래 길이로 되돌아가려는 성질이 있기때문에
원래 길이로 되돌아가려는 방향으로 탄성력을 작용한다.
따라서 용수철에 힘을 작용시켜 길이를 변형시키면
힘이 용수철에 해준 일 만큼
원래 길이로 돌아가는 동안 일을 할 수 있는 능력인 에너지를 가지게 되는데
이를 탄성 퍼텐셜에너지라 한다.
탄성력을 수식으로 쓰면 F = -kx 이다.
(이를 훅의법칙이라 하는데 이름이 중요한건 아니니 적당히 넘어가자)
k = 용수철상수(탄성계수)
x = 변형된 길이
마이너스(-) 부호의 의미 : 탄성력의 방향이 변형된 길이와 반대 방향이다.
용수철상수가 k인 용수철에 힘을 작용시켜
용수철의 길이를 x만큼 변화시킬때 용수철에 해준 일의 양은
W = Fs = -kx^2일까?
F = -kx에서 x가 일정하지 않으므로 F가 일정하지 않다.
W = Fs는 힘이 일정하며
힘과 이동거리 s의 방향이 같을때나 맞는 식이다.
보통 힘이 일정한 상황이 문제로 나오니까
편의를 위해 W=Fs라 쓰는거지
일의 원래 정의를 잊지 말자
아까 일 = 힘-이동거리 그래프에서
그래프가 거리 축과 이루는 면적이라 했으므로
이때의 힘-이동거리 그래프를 그려보면
W = (1/2)kx^2가 되고
용수철은 이 일만큼 물체에 일을 할 수 있으므로
탄성 퍼텐셜 에너지는 W와 같다.
- 일과 에너지의 관계 ( 일 운동에너지 정리 ) -
-일 운동에너지 정리-
물체에 작용한 알짜힘이 물체에 한 일은
물체의 운동 에너지 변화량과 같다.
질량 m, 처음속도 v0_인 물체가
수평면에서 일정한 힘 F를 받아
물체가 s만큼 이동하였을때의 속도가 v라면
뉴턴의 운동 제2법칙에 의해 F=ma이고
등가속도 직선운동에서의 시간소거식에 의해
이므로 이때의 일 W = Fs에 대입하면
따라서 W = ΔEk_
- 역학적 에너지 -
역학적 에너지 : 물체의 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 합. 보통 E라고 쓴다.
- 역학적 에너지 보존 법칙 -
이 단원의 핵심이자 여태 물리1을 공부해온 이유
킬러문제가 여기서 나온다.
보존력만이 작용하는 한, 물체의 역학적 에너지는 보존된다.
여기서 말하는 보존력은
중력, 탄성력 정도로 알고있으면 된다.
쉽게 말해서 중력, 탄성력 이외에 아무 힘도 작용하지 않으면
역학적에너지는 보존된다.
문제에서는 (단, 모든 마찰과 공기저항은 무시한다)와 같이 써서
역학적 에너지는 보존된다고 알려준다.
1. 중력에 의한 역학적 에너지 보존
2. 탄성력에 의한 역학적 에너지 보존
요약하자면
역학적 에너지가 보존된다 = 역학적 에너지의 변화량이 0이다.
퍼텐셜 에너지가 운동 에너지로 전환되고,
운동 에너지가 퍼텐셜 에너지로 전환된다고 생각하면 된다.
즉 문제를 풀때는
역학적 에너지가 보존되므로
운동 전 역학적 에너지 = 운동 후 역학적 에너지
라는 식을 세워서 풀면 된다.
- 주의 -
이런 운동에서 A의 역학적 에너지는 보존될까?
아니다.
아까 역학적 에너지가 보존되려면
중력, 탄성력 이외의 힘이 없어야 한다고 했는데
보면 A와 B는 실로 연결되어 운동하고있으므로
A에는 장력이 작용하여
역학적 에너지가 보존되지 않는다.
대신 A와 B의 역학적에너지의 합은 보존된다.
A와 B는 함께 움직이고
이때 A+B를 하나의 물체로 보고 보면
A+B에 작용하는 힘은
1. A에 작용하는 중력
2. B에 경사면 아래방향으로 작용하는 중력
3. 경사면이 B를 떠받치는 힘
여기서 경사면이 B를 떠받치는 힘은
B의 운동 방향과 수직이므로
경사면이 B를 떠받치는 힘이 하는 일은 0이다.
따라서 경사면이 B를 떠받치는 힘은 역학적에너지에 아무런 영향도 주지 못한다.
따라서 A+B에 작용하는 알짜힘은 중력(보존력) 뿐이다.
따라서 A와 B의 역학적에너지의 합은 보존된다.
이를 이용해 여기서 A의 역학적 에너지 변화량을 묻는다면
A+B의 역학적 에너지는 보존되므로
A의 역학적 에너지 변화량 = B의 역학적 에너지 변화량
A의 운동에너지 변화량 + A의 중력퍼텐셜에너지 변화량 = B의 운동에너지 변화량 + B의 중력퍼텐셜에너지 변화량
이런식으로 풀어가면 된다.
- 문제풀이 꿀팁 -
역학적 에너지를 변화시키기 위해서는
보존력 외의 힘이 작용해야한다.(예 : 장력, 마찰력)
보존력 외의 힘을 비보존력이라 하겠다.
보존력이 한 일들은 어차피 역학적 에너지 변화량이 0일테니까
나머지 비보존력들이 한 일이 역학적 에너지를 변화시킨다.
즉 역학적 에너지 변화량 = 비보존력이 한 일이다.
써먹으면 문제풀이가 간단해지는 경우가 많다.
- 예제 -
킬러 밭이므로 처음 몇문제빼고는
어려운 문제 위주로 넣었다.
1 )
-문제풀이 단서-
1. 역학적에너지는 보존되었다.
2. A,B지점의 높이와 속력이 주어졌다.
3. C에서 정지하였다.
따라서 답은 1번
2 )
-문제풀이 단서-
1. A와 B가 등가속도 운동했다.
2. B의 중력퍼텐셜에너지 감소량과 B의 운동에너지증가량의 관계가 언급되었다.
3. B의 속력이 v가 된 순간 B의 높이가 h만큼 줄었다.
ㄱ)
B의 높이가 h만큼 줄어드는동안 A의 운동에너지 증가량은
B의 역학적에너지 감소량과 같은가?
우선 A+B의 역학적에너지는 보존되므로
B의 역학적에너지 감소량 = A의 역학적에너지 증가량
근데 A는 높이의 변화가 없으므로
A의 중력퍼텐셜에너지 변화량은 0이다. 따라서
A의 역학적에너지 증가량 = A의 운동에너지 증가량
따라서 ㄱ(o)
ㄴ)
B의 중력퍼텐셜에너지 감소량 = 4 x B의 운동에너지 증가량
따라서 ㄴ(o)
ㄷ)
A+B의 역학적에너지는 보존된다.
따라서 A+B의 운동전 역학적에너지 = 운동후 역학적에너지
운동전 A,B는 정지해있었으므로 이때의 운동에너지 = 0이다.
따라서 ㄷ(x)
따라서 답은 3번
3 )
-문제풀이 단서-
1. A,B는 등가속도 운동했다.
2. A와 B의 질량은 같다.
3. A+B의 역학적에너지는 보존된다.
ㄱ)
알짜힘이 해준 일 = 운동에너지의 변화량
A와 B는 같이 움직이므로 둘의 속력은 같다.
근데 둘의 질량도 같으므로
이때 A와 B의 운동에너지는 같고
따라서 A에 작용하는 알짜힘이 A에 해 준 일과
B에 작용하는 알짜힘이 B에 해 준 일은 같다.
ㄱ(o)
ㄴ)
A의 역학적 에너지는 증가하는가?
우선 A+B의 역학적에너지는 보존되었으므로
운동전 A 역학적에너지 + 운동전 B 역학적에너지 = 운동후 A 역학적에너지 + 운동후 B 역학적에너지
역학적에너지 = 운동에너지 + 퍼텐셜에너지 이므로
운동전 A 운동에너지 + 운동전 B 운동에너지 + 운동전 A 퍼텐셜에너지 + 운동전 B 퍼텐셜에너지
=
운동후 A 운동에너지 + 운동후 B 운동에너지 + 운동후 A 퍼텐셜에너지 + 운동후 B 퍼텐셜에너지
이런 선지는 A와 B의 운동에너지와 퍼텐셜에너지의 변화량을 보고 판단하면 된다.
A의 운동에너지 : 증가
A의 퍼텐셜에너지 : 감소
B의 운동에너지 : 증가
B의 퍼텐셜에너지 : 감소
근데 A는 경사면에 있었으므로
B가 A보다 더 내려갔다.
A와 B의 질량은 같으므로
중력퍼텐셜에너지의 변화량은 B가 더 크다.
즉 B의 중력퍼텐셜에너지 감소량 > A의 중력퍼텐셜에너지 감소량
아까 ㄱ에서 A와 B의 운동에너지 증가량이 같다했으므로
결론적으로 B는 역학적에너지가 감소하고
A는 같은 양만큼 역학적에너지가 증가했다.
따라서 ㄴ(o)
ㄷ)
아까 ㄴ에서의 내용을 수식으로 나타내면
인데 이 식에 따르면
A와 B의 운동에너지 증가량의 합은
A와 B의 퍼텐셜에너지 감소량의 합과 같다.
직관적으로 봐도
A와 B의 운동에너지 증가량의 합이
B의 중력퍼텐셜에너지 감소량과 같으려면
A의 중력퍼텐셜에너지 감소량이 0이어야하는데 그렇지 않다.
따라서 ㄷ(x)
따라서 답은 4번
4 )
-문제풀이 단서-
1. A는 B와 충돌하기 전까지 역학적에너지가 보존됐다.
2. A는 높이 h에서 정지해있었다.
3. A와 B가 충돌 후 한 덩어리로 움직였다.
4. A,B의 질량이 주어졌다.
따라서 답은 4번
5 )
-문제풀이 단서-
1. 수평구간 p에서 q까지 일정한 힘 F를 받았다.
2. 물체의 운동에너지는 2h일때가 p일때의 2배이다.
따라서 답은 4번
6 )
-문제풀이 단서-
1. (가)에서 물체는 정지해있다.
2. q가 B를 당기는 힘의 크기는 p가 A를 당기는 힘의 크기의 3배이다.
3. 실이 끊어진 후 A와 B의 이동거리의 관계가 주어졌다.
우선 이해를 돕기 위해 문제의 그림에 장력을 표시해보겠다.
따라서 A가 경사면 아래방향으로 받는 중력 = T
B가 경사면 아래방향으로 받는 중력 = 2T
C가 경사면 아래방향으로 받는 중력 = 3T
A와 B는 경사면의 각도가 같은데
B가 받는 중력의 크기가 2배이다.
따라서 B의 질량은 A의 2배이다.
따라서 앞으로 A의 질량을 m, B의 질량을 2m이라 잡을것이다.
(나)에서 실이 끊어진 후
A는 혼자
B는 C와 같이 움직였는데
A의 이동거리가 B의 이동거리의 3배이다.
등가속도 직선운동에서 이동거리 = (1/2)at^2 에서
같은 시간동안 이동했으므로 t가 같다.
근데 이동거리가 A가 B의 3배이므로
A의 가속도는 B의 3배이다.
이때 A의 운동에너지 증가량은
알짜힘 x 이동거리 인데
알짜힘 = T, 이동거리 = 3s이므로 대입하면
Ea_ = 3Ts
다음은 Ec_를 구하고싶은데
C는 뭔가 경사각도 다르고 질량도 모르겠고 정보가 부족해보인다.
근데 B+C의 역학적에너지는 보존된다.
따라서 C의 역학적 에너지 감소량 = B의 역학적 에너지 증가량
B는 A와 경사각도 같고 B에 작용하는 중력의 크기가 어느정도인지도 안다.
즉 정보가 더 많은 B의 역학적에너지 증가량을 구하는게 더 쉽다.
A의 가속도가 B의 가속도의 3배이므로
A의 가속도를 3a, B의 가속도를 a라 잡으면
A -> T = 3ma
(나)에서 B에 걸리는 장력을 T'이라 하면
B -> T' - 2T = 2ma, T' = 2T + 2T/3 = 8T/3
B의 역학적에너지 증가량 = 비보존력이 B에 한일
B에 작용하는 비보존력은
실이 B를 당기는 장력 뿐이다.
따라서 Eb_ = T's = 8Ts/3 = Ec_
따라서 Ec_ / Ea_ = (8Ts/3) / (3Ts) = 8/9
따라서 답은 5번
7 )
-문제풀이 단서-
1. A+B의 역학적에너지는 보존되었다.
2. A의 운동에너지 증가량과 B의 중력퍼텐셜에너지 증가량의 관계가 주어졌다.
3. R과 Q에서 A의 운동에너지 관계가 주어졌다.
4. Q에서 실이 끊어지며 A, B가 따로 운동했다.
개인적으로 물리1 문제중 난이도 top 5 안에 든다고 생각한다.
Q를 지나는 순간 실이 끊어졌기때문에
Q를 지나는 순간부터는 다른 운동이 된다.
따라서 P~Q와 Q~R을 나눠서 할것이다.
- P~Q 운동 -
A+B의 역학적에너지가 보존된다.
A,B는 둘다 속력이 증가했으므로 운동에너지는 증가했고
A는 내려갔는데 B는 올라갔으므로
A의 퍼텐셜에너지는 감소
B의 퍼텐셜에너지는 증가한다.
따라서 A의 퍼텐셜 에너지만 감소하고 나머지는 증가했기때문에
A의 퍼텐셜 에너지가 A, B의 운동에너지와 B의 퍼텐셜에너지로 전환되었다고 볼 수 있다.
즉
A의 퍼텐셜에너지 감소량 = A의 운동에너지 증가량 + B의 운동에너지 증가량 + B의 퍼텐셜에너지 증가량
A의 운동에너지 증가량 = B의 퍼텐셜에너지 증가량의 4/5배
이때 A의 운동에너지 증가량을 K라 하면
B의 퍼텐셜에너지 증가량은 (5/4)K이다.
K + B의 운동에너지 증가량 + (5/4)K = A의 퍼텐셜에너지 감소량
운동에너지는 (1/2)mv^2인데
A,B의 속력이 같다.
따라서 B의 운동에너지 변화량을 K'이라 하고
A, B의 질량을 각각 Ma_, Mb_라 하면
K : K' = Ma_ : Mb_
따라서 K' = (Mb_/Ma_)K
대입하여 다시 쓰면
K + (Mb_/Ma_)K + (5/4)K = A의 퍼텐셜에너지 감소량
- Q~R 운동 -
A와 B는 따로 운동한다.
따라서 A의 역학적에너지는 보존된다.
A의 운동에너지는 R에서가 Q에서의 9/4배 인데
Q에서 A의 운동에너지를 K라 했으니
R에서 A의 운동에너지는 (9/4)K
따라서 Q~R운동에서 A의 운동에너지 증가량은 (5/4)K이고
역학적에너지는 보존되므로 퍼텐셜에너지 감소량은 (5/4)K이다.
Q~R운동에서 A의 퍼텐셜에너지 감소량은 (5/4)K인데
Q~R운동에서는 경사면방향으로 L만큼 내려갔고
P~Q운동에서는 2L만큼 내려갔으므로
P~Q운동에서 A의 퍼텐셜에너지 감소량은 Q~R에서 A의 퍼텐셜에너지 감소량의 2배이다.
따라서 P~Q에서 A의 퍼텐셜에너지 감소량 = 2 x (5/4)K
K + (Mb_/Ma_)K + (5/4)K = A의 퍼텐셜에너지 감소량
여기에 대입하면
K + (Mb_/Ma_)K + (5/4)K = 2 x (5/4)K
정리하면 Ma_/Mb_ = 4
따라서 답은 2번
8 )
-문제풀이 단서-
1. A와 B의 질량이 같다.
2. 역학적에너지는 보존되었다.
3. 용수철의 길이가 L일때 A의 속력이 0이다.
요새 평가원이 역학적에너지보존에 용수철 넣는걸 좋아해서
푸는법을 익혀두어야한다.
개인적으로 이게 방금것보단 쉽지만
처음 마주쳤을때 체감되는 난이도는 이게 더 어려울거같아서 마지막에 넣었다.
우선 이 운동 자체를 이해할 필요가 있다.
(가)에서 B를 못움직이게 잡고있는데
이때의 용수철의 길이는 원래길이 L0_라고 한다.
즉 이때 작용하는 탄성력도 없고 탄성퍼텐셜에너지도 없다.
용수철을 잡아 늘린적도없고 줄인적도없고
원래 길이에서 가만히 있도록 B를 가만히 잡고있는 상황인것이다.
A의 중력을 상쇄시킬 만큼의 힘으로 잡고있는데
이걸 떼면 (나)와 같이 운동하게 된다. 라고 문제에 나와있다.
따라서 손을 떼면 A는 중력에 의해 용수철의 길이를 늘리며 내려가다가
용수철의 길이가 L이 되는 순간 속력이 0이 된다.
A가 내려갔으므로 A의 퍼텐셜에너지는 감소했을텐데
L0일때와 L일때 속력은 둘다 0이므로 A의 운동에너지 변화는 없다.
따라서 A의 역학적에너지는 감소했다.
근데 A+B+용수철의 역학적에너지는 보존되므로
A의 감소한 역학적 에너지는
용수철에 탄성 퍼텐셜 에너지로 전환되었다.
ㄱ)
따라서 ㄱ(o)
ㄴ)
용수철의 길이가 L일때 A에 작용하는 알짜힘은 0이다?
방금 위에서 용수철의 길이가 L이 될때까지
A는 내려가면서 역학적에너지가 감소했고
결론적으로 A의 역학적 에너지 감소량 만큼
용수철의 탄성 퍼텐셜에너지가 증가했다.
용수철의 길이가 L인 순간 A의 속력은 0이다 = 용수철이 최대 늘어난길이가 L이다.
즉 탄성퍼텐셜에너지는 용수철의 길이가 L일때 최대이고
역학적 에너지는 보존되어야 하기때문에
용수철의 길이가 L일때부터
이 탄성퍼텐셜에너지가 A+B의 역학적에너지로 전환될것이고
탄성퍼텐셜에너지가 0이 되면 다시 A+B의 역학적에너지는 탄성퍼텐셜에너지로 전환되는
순환이 계속될것이다.
근데 이 선지에서 A에 작용하는 알짜힘이 0이냐고 묻고있다.
이 순간 속력은 0인데 알짜힘도 0이면
용수철이 길이 L이 된 채로 정지해있어야 한다는 말인데
저장된 탄성퍼텐셜 에너지가 있기 때문에
이 탄성퍼텐셜 에너지를 A+B의 역학적에너지로 전환시키기 위해
다시 올라갈것이다.
따라서 알짜힘이 0일수 없다.
따라서 ㄴ(x)
ㄷ)
용수철의 길이는 L~L0_~L~L0_를 반복하며
계속 A+B와 용수철의 에너지 교환이 있을것이다.
따라서 B는 용수철길이 L일때와 L0_일때 속력이 0이다.
따라서 B는 용수철의 길이가 (L+L0_)/2일때 속력이 최대이다.
B의 최대 속력을 v라 하고
용수철의 길이가 (L+L0_)/2일때 역학적에너지 보존 식을 쓰면
따라서 ㄷ(x)
따라서 답은 1번
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