중학교때 거듭제곱 배운것의 확장 개념이다.
이게 무슨 뜻인가?
a의 b 거듭제곱
a가 밑이고 b가 지수
우리가 중학교 때 배운거다.
근데 우리가 중학교때 배운건
다 b가 자연수일때 였다.
예를 들어 a의 2제곱 a의 세제곱
a의 네제곱 다섯제곱 이런식으로
근데 a의 0제곱은? -3제곱은? 0.5제곱은?
이런걸 이번에 배울것이다.
사실 단원 제목은 거창하게 지수법칙이라 되어있지만
대단한게 나오는게 절대 아니다.
우선 중등수학부터 가볍게 복습해보자.
이 값은 무엇인가?
저것의 뜻은 a를 3번 거듭제곱한다.
즉 a를 3번 곱한다.
그럼 이건?
a를 5번 곱한다.
그럼 이건?
이건 결국 a가 8번 곱해진거니까
이런 결론이 나온다.
그리고 이 논리를 일반화해서 법칙이라는 이름으로 내놓는다.
밑이 같은 것끼리 곱하면 지수끼리 더한다.
단 주의해야할게 a(밑)는 양수여야한다.
이 이유는 매끄러운 설명을 위해 좀 아래에 설명해주겠다.
이건 너무 당연한거고 외우면 안되는거다.
이번엔 다른거
이 값은 무엇인가?
a를 2번 곱한 값을 통째로 3번 곱하라는 뜻이다.
따라서 이런 결론이 나온다.
단 주의해야할게 a(밑)는 양수여야한다.
이 이유는 매끄러운 설명을 위해 좀 아래에 설명해주겠다.
지금까지 한 거 다 중학교 과정이다.
- a의 0제곱 -
이제 이걸 확장해서 a의 0제곱을 구해보자.
이 값은 무엇인가?
갑자기 숫자가 문자로 바뀌었다고 전혀 압도될 필요가 없다.
그냥 a가 밑이고 x랑 y가 지수인것이다.
밑이 같은것끼리 곱한거니까
이거 아닌가?
우리가 알고싶은건 a의 0제곱이니까
y=0 이라고 해보자.
그럼 결론은 이렇게 나온다.
이걸 만족하는 a의 0제곱 값은 1이다.
따라서 이런 결론을 얻어낼 수 있다.
어떤 수든 0제곱하면 1이 된다.
즉 a의 0제곱은 1이다.
a=0인 지점이 조금 특이하니 짚고 넘어가자면
아까 위의 식에서 a=0 이라고 해보자.
이 식이 항상 성립하기 위한 0의 0제곱 값은 1이다.
근데 사실 엄밀히 따지면 0의 0제곱은 정의되지 않는다.
하지만 편의상 1이라 한다. 고등수학에선 이런걸 다루지 않으니 그냥 1이라고 알고있자.
- a의 -3제곱 -
이 값은 무엇인가? 똑같은거 또물어본다.
이번엔 a의 -3 제곱을 구하기 위해
x=3 이라하고 y=-3 이라 해보자.
그리고 저 식을 다시 쓰면
근데 a의 0제곱은 1 아닌가?
따라서 a의 -3제곱을 알아낼 수 있다.
결론 :
a의 -x 제곱은 a의 x제곱의 역수이다.
단 주의할 점은 a가 양수여야한다.
x같은거 나왔다고 겁먹지말고
그냥 x가 지수라고 생각하면 된다.
a의 -3제곱은 a의 세제곱의 역수이다.
a의 -4제곱은 a의 네제곱의 역수이다.
하나하나 적을 수 없으니
지수를 x라 했을때 저렇게 된다. 라고 일반화한것 뿐이다.
- 그래서 a가 왜 양수여야되는가? -
중등수학을 했다면 누구나 풀 수 있는 간단한 문제를 예시로 들어보겠다.
이 값은 얼마인가?
지수법칙에 의해서
답은 8이다.
그럼 비슷한걸로 하나 더
이 값은 얼마인가?
지수법칙에 의하면
답은 -8?
문제가 생겼다.
왜냐면 -2의 제곱은 4이기 때문에
이것도 답이 8이 나와야되기 때문이다.
근데 -8이 나왔다. 문제가 생겼다.
따라서 이런 결론을 내릴 수 있다.
밑이 음수이면서 지수가 정수가 아닌 실수인 경우에는
지수법칙이 성립하지 않을 수도 있다.
하지만 우리는 지수법칙이 성립하는 경우만을 다룰거기 때문에
거듭제곱에서 밑이 음수이면서 지수가 정수가 아닌 실수인 경우는 다루지 않는다.
실제로 계산기에게 -2의 1.5제곱 같은걸 계산하라 하면
이런 결과를 내놓는다.
undefined, "정의되지 않음"
다만 지수가 정수일때는 다룰 수 있다.
가령 -2의 세제곱을 구하라 하면 구할 수 있다.
-2를 3번 곱한거니까 답은 -8이다.
-7의 0제곱을 구하라 하면
0을 제외한 모든 수의 0제곱은 1이니까 답은 1이다.
- a의 0.5제곱 -
이건 매우 간단하게 알아낼 수 있다.
중등수학에서의 식에다가
x를 0.5라고 놓고 y를 2라고 놓으면
따라서 a의 0.5제곱을 제곱하면 a가 되므로
a의 0.5제곱은 a의 제곱근이다.
그럼 a의 1/3 제곱은?
x를 1/3 이라 놓고 y를 3이라 놓으면 알아낼 수 있다.
그래서 말하고자 하는 바가 뭐냐면
결국 중등수학 수준에서 크게 벗어나지 않는다는것이다.
그냥 중등수학의 지수법칙 적용하면 다 풀린다.
다만 중등수학은 덜 복잡해보이게 하려고
지수가 다 자연수였던거 뿐이고
이젠 유리수, 무리수까지 확장시킨것이다.
2의 루트3제곱 따위가 등장해도 그냥 중등수학 풀듯이 풀면 된다는것이다.
- 예제 -
작년 수능 수학 가형 1번문제다.
그냥 지수법칙 쓰면 끝나버린다.
따라서 답은 3번
수학은 이 이상의 예제를 가져오지 않겠다.
수학은 스스로 공부하는거다.
내가 여기다가 적당히
수능 어려운3점~쉬운4점 수준의 난이도의 문제를 가져와서
그거 풀이 다적어주면
내가 푼거지 본인이 스스로 푼게 아니기때문에 수학 실력이 늘지 않는다.
답지를 보지 말라는거다.
어떻게 푸는걸까 라는 사고 과정 자체가 수학 공부고
거기서 본인이 어느 부분의 개념이 부족했는지
왜 난 문제를 풀때 이런 생각을 하지 못했는지
를 찾아낼 수 있게 된다.
그럼 그 개념을 보충해주기 위해 추가로 공부해주면 되는거고
그러다 그 문제를 다시보면 이젠 풀 수 있게된다.
'수학I > I. 지수함수와 로그함수' 카테고리의 다른 글
| 지수함수와 로그함수 (0) | 2021.09.12 |
|---|---|
| 로그의 정의와 성질 (0) | 2021.09.11 |
