- 로그의 정의 -
2의 x제곱을 4라고 하면 x는 무엇인가?
2이다. 2의 2제곱이 4니까
2의 x제곱을 8이라고 하면 x는 무엇인가?
3이다. 2의 3제곱이 8이니까
그럼 2의 x제곱을 7이라고 하면 x는 무엇인가?
모르겠네? 그래서 이를 표현하기를
여기서 이 x값을
이라고 표현하기로 약속한다.
약속한다는건 그냥 그렇게 정했다는거니까 따르면 된다.
저게 로그의 정의이다.
2를 x제곱하면 7이 된다.
이때 x의 값을 저렇게 로그로 표현할 수 있다는것이다.
정확한 정의는 이렇다.
근데 세가지 의문점이 있다.
1. 왜 a는 양수여야 하는가?
2. 왜 a가 1이면 안되는가?
3. 왜 b는 양수여야 하는가?
하나씩 풀어보겠다.
1. 왜 a는 양수여야 할까?
우선 a가 양수여야 한다는건
음수여도 안되고 0이어도 안된다는건데
음수면 안되는 이유부터 설명하자면
바로 전 단원에서 설명한 내용을 떠올려보면 이해가 될텐데
a가 음수라는건 저 거듭제곱에서 밑이 음수라는거다.
거듭제곱에서 밑이 음수면 무슨 문제가 생기냐면
바로 전 단원에서 지수의 범위를 실수 전체로 확장했었는데
밑이 음수가 되어버리면 지수가 정수여야만 이 값을 구할 수 있다.
지수가 정수가 아니면 지수법칙이 성립하지 않는다.
우리는 지수법칙이 성립하는 경우만 다룰거기 때문에
이 경우는 다루지 않을거라 했었다. 다룰수도 없고
따라서 a가 음수인 경우는 다루지 않는다.
그럼 a가 0이되면 안되는 이유는 뭘까?
0의 2제곱은? 0
0의 3제곱은? 0
0의 2000제곱은? 0
0의 0제곱은? 정의되지 않음.
0의 -2제곱은? 정의되지 않음.
따라서 지수가 양수면 무조건 0이고
지수가 양수가 아니면 정의할수 없게 된다.
정의할 수 없다는건 그냥 존재하는 수가 아니라고 보면 된다.
따라서 이럴때 로그의 값은 정의할 수 없다.
왜냐면 0의 x제곱이 b 여야 하는데
이를 만족하는 b는
아까 말했듯이 x가 양수일경우에만 0이라는 값으로 존재할 수 있다.
그러면 x가 양수라고 치자 이거야
이것의 x값은 무엇인가?
1인가? 2인가? 3인가? 1000인가?
아무거나 넣어도 성립하게 된다.
즉 이것도 하나의 수로 정할 수 없기때문에
a=0 일때는 다루지 않는것이다.
이를 좀 수학적인 말로 정의되지 않는다 라고 한다.
따라서 a>0 이어야한다.
2. 왜 a가 1이 되면 안되는가?
a가 1이라고 하면
1의 2제곱은 1이고
1의 3제곱도 1이고
1의 0제곱도 1이고
1의 -3제곱도 1이고
1의 200제곱도 1이다.
즉 a가 1일때
저 식을 성립시킬 수 있는 b값은 1 뿐인데
그럼 이것도 b가 1이라 쳐보자 이거야
이것을 만족하는 x값은 무엇인가?
1인가? 2인가? 3인가? 1000인가?
아무거나 넣어도 성립하게 된다.
즉 이것도 하나의 수로 정할 수 없기 때문에
a=1일때는 다루지 않는다.
따라서 a≠1 이어야한다.
3. 왜 b가 양수여야 하는가?
a의 조건에 의한 것이다.
a가 양수여야 한다고 했는데
a가 양수면
a는 몇제곱을 해도 무조건 양수가 나온다.
양수는 어떻게 제곱을 해도 음수가 나올수는 없다.
어떻게 제곱해도 0도 나올수없다.
그래서 b는 무조건 양수여야 하는것이다.
이제 의문점은 해결됐을 것이고
종합적으로 로그의 정의를 내리자면
이 정의는 한글자도 빼먹지 않고 완벽히 설명할 수 있어야한다.
이걸 거듭제곱이라 하고
여기서 a를 밑, x를 지수라 하듯이
로그에도 용어가 있다.
여기서 a를 '밑' 이라 하고
b를 '진수' 라고 한다.
그리고 여기서의 값 x를
'a를 밑으로 하는 b의 로그'라 한다.
이해했는지 가볍게 문제 하나로 묻고 가겠다.
이것이 정의되기 위한 x값 중 정수인것은?
로그가 정의되려면
밑이 양수이면서 1이 아니어야하고
진수가 양수어야한다.
밑은 x-3 이므로
x-3>0 이면서 x-3≠1 이어야 한다.
따라서 3<x<4 또는 4<x 여야 한다.
진수는 -x+6 이므로
-x+6>0 이어야한다.
따라서 x<6 이어야 한다.
밑 조건과 진수 조건을 모두 만족해야 로그가 정의될 수 있으므로
종합하면 3<x<4 또는 4<x<6 이고
이 범위 내에서 정수인 x값은 5밖에 없다.
따라서 답은 5이다.
- 로그의 성질 -
생각해보면 너무나 당연한 것이지만
이런 성질을 idea로 문제를 풀 수 있어야한다.
아는거라고 그냥 넘어갈게 아니라
이걸 어떤식으로 써먹어야 문제를 맛있게 푸는지 알고 넘어가야한다.
1.
너무 당연한거다.
a가 0만 아니라면 어떤 수든 0제곱하면 1이 된다.
근데 로그가 정의되기위한 밑 조건에서 a>0 이라 했으므로
a는 0이 아니고 따라서 저게 성립한다.
2.
이것도 너무 당연하다.
a의 1제곱 = a를 1번 곱한것 = a
3.
로그의 덧셈정리 라는 이름으로 나오는데
지수법칙을 이용해 간단하게 증명 가능하다.
4.
이것도 지수법칙을 이용해
똑같은 방식으로 증명하면 된다.
5.
진수가 거듭제곱꼴로 나타내어져있다면 지수를 로그 밖으로 빼낼 수 있다.
단 로그 전체의 제곱과는 다른것이다.
이것도 지수법칙을 이용해 증명할 수 있다.
6.
저 c의 값은 아무거나 들어가도 된다.
밑과 진수를 둘다 진수로 보내는 것에 의의가 있다.
이것도 간단하게 증명 가능하다.
7.
방금 전꺼에서 c=b라고 하면
다음과 같은 식이 완성된다.
8.
5번째 로그의 성질의 확장 개념이다.
증명과정은 매우 간단하다.
9.
증명 과정은 다음과 같다.
10.
이건 위의 증명 과정에서 c=a 라고 두면 바로 되지만
다른 방법으로도 해보자면
여기까지다.
공식이 10개나 되지만
증명 과정에서 전혀 어려운 수학적 사고과정을 들여온게 아니다.
그니까 이걸 공식이 10개라면서 10개를 외우고있지 말라는것이다.
좀만 생각하면 이해 가능한 수준의 당연한 것들만 적어놓은 것이고
문제를 풀려면 어떤 식으로 접근할지 힌트를 준 것 뿐이다.
이제 문제를 풀려면 필요한건 이 두가지다.
1. 이 모든 로그의 성질 스스로 유도 가능
2. 이 성질을 근거로 주어진 식을 자유자재로 변환 가능
몇가지 예제와 함께 마무리하겠다.
- 예제 -
1 )
첫번째 방법
두번째 방법
따라서 답은 2
이건 수능 1번 수준의 문제니까 당연히 쉽고
기본중의 기본을 묻는 문제이다.
근데도 풀이방법을 두개나 보여준건
이와 같이 자유자재로 자기가 편한대로 식을 바꿔서 풀 수 있어야 한다는것이다.
2 )
첫번째 방법
두번째 방법
따라서 답은 8/5
3 )
첫번째 방법
두번째 방법
따라서 답은 8
4 )
첫번째 방법
두번째 방법
따라서 답은 log₂a
사실 이 둘은 별 차이 없는 풀이이다.
내가 말하고자 하는건
로그의 성질을 이용해 자유자재로 식을 변형하여
자기가 문제를 풀기 쉽도록 만들어주는게 필요하다는것이다.
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