- 개요 -
내가 수열은 규칙이 없어도 된다고 했는데
보통 수학I에서는 규칙이 있는 수열을 다루고
여기서는 그 중 어떠한 특별한 규칙이 있는 '등차수열'을 다룰것이다.
- 등차수열 -
등차수열 : 연속하는 두 항의 차이가 모두 일정한 수열
가령 1, 3, 5, 7, 9, ... 와 같은 수열이 있다면
연속하는 두 항의 차이는
제1항과 제2항의 차이 : 2
제2항과 제3항의 차이 : 2
제3항과 제4항의 차이 : 2
따라서 이건 등차수열이다.
이때 두 항의 차이는
수열의 모든 연속하는 두 항들의 공통적인 차이 이므로
공차 라고 한다.
즉 등차수열에서 연속하는 두 항의 차이가 공차이다.
아까 예로 들었던 1, 3, 5, 7, 9, ... 이 수열은
공차가 2인 등차수열이다.
공차는 영어로 common difference 이고, 기호 d로 쓴다.
- 등차수열의 일반항 -
1, 3, 5, 7, 9, ... 이 수열의 일반항은 무엇일까?
우선 제1항은 1이고
공차가 2이므로
제2항은 1+2 이다.
제3항은 1+2+2 이다.
제4항은 1+2+2+2 이다.
즉 제n항의 값은 1+2×(n-1) 이다.
따라서 이 수열의 일반항은
1 + 2(n-1) 이다.
여기서 1은 제1항 이고
2는 공차이고
n-1은 공차가 n-1번 더해진다는 의미이다.
따라서 일반화 시키면
등차수열의 일반항은 다음과 같다.
- 등차중항 -
세 수 a, b, c 가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때
b를 a와 c의 등차중항 이라고 한다.
a, b, c 가 등차수열이므로
b-a = c-b 이고
정리하면 b = (a+c)/2 이다.
이는 a와 c의 평균값과 같다.
- 등차수열의 합 -
조금 복잡해보이는 공식이 있긴 한데
매우 간단한 논리니까
공식을 외우지 말고 스스로 유도해보자.
등차수열의 첫째항부터 제 n항까지의 합을
이렇게 쓴다.
두 식은 결국 같은 식이지만
표현하는 방법이 조금 다르기 때문에
두 가지 모두 알고있어야 한다.
간단한 예제와 함께 마무리
- 예제 -
1 )
등차수열 이므로
6번째항 - 4번째항 의 값은 2d 이다.
2d = 4이므로 d는 2 이다.
따라서 답은 2
2 )
따라서 답은 45
3 )
따라서 답은 96
