- 수열의 합과 일반항의 관계 -
당연한거라 넣을까말까 했는데 일단 넣었다.
수열의 합은 아는데
그걸로 일반항을 알아내고 싶을 때
쓰면 된다.
수열의 일반항 = 수열의 n번째 항
따라서 수열을 1번째부터 n번째까지 다 더한거에서
1번째에서 n-1번째까지 다 더한거를 빼주면
결국 n번째 항만 남을것이다.
수식으로 표현하면 다음과 같다.
- 합의 기호 -
수열의 첫째항부터 제 n항까지의 합을
이라고 배웠는데
저 S_n 이라는건
수열의 합이라는건 알겠는데
뭐하는 수열인지 모르겠다.
그니까 등차수열인지 등비수열인지
아니면 다른 어떠한 규칙이 있는 수열인지
직접 a1+a2+a3+... 풀어 써봐야 알 수 있다.
따라서 편의를 위해 새로운 기호가 필요하다.
이때 기호 Σ 는 시그마 라고 읽는다.
이 문장의 뜻은
수열 {a_n}을 제1항부터 제n항까지 모두 더하라는 의미이다.
시작점을 1이라 했고
변수를 k라 했으니
k=1 일때부터
k값을 1씩 증가시키며
k=n에 도달할때까지
빨간 박스 안에 있는 놈을 전부 더하겠습니다.
라는 뜻이다.
예를 들자면
이거는
시작점을 1이라 했고
변수를 x라 했으니
x=1 일때부터
x값을 1씩 증가시키며
x=3에 도달할때까지
( a_x + 2 )의 값을 전부 더하겠습니다.
라는 뜻이다.
따라서 풀어 쓰면 다음과 같이 될것이다.
- Σ의 성질 -
1.
2.
3.
4.
주의
- 자연수의 거듭제곱의 합 -
자연수의 1 거듭제곱의 합
자연수의 2 거듭제곱의 합
자연수의 3 거듭제곱의 합
- 심화 1 : 부분분수 꼴로 나타내어진 수열의 합 -
부분분수 꼴로 나타내어진 식은
위처럼 어떤 수와 어떤 수의 곱 꼴로 나타내어져 있기 때문에
합을 구하기 곤란하다.
따라서 부분분수 분해를 이용해
차수를 내려주면 식이 간단해지고 풀기 쉬워진다.
중등수학에서의 이 식을 응용하라는 것이다.
- 심화 2 : 분모의 유리화 -
분모에 무리수가 있는 경우도
합을 구하기 어려우므로
분모를 유리화시켜서 풀면
식이 간단해지고 풀기 쉬워진다.
이것도 중등수학에서의 식을 응용하는 것이다.
- 예제 -
1 )
따라서 답은 26
2 )
따라서 답은 10
3 )
따라서 답은 8
당황하라고 일부러 변수를 이상한걸로 줬다.
내용을 이해하고 있다면
그냥 장난쳐놨구나 하고 바로 풀 수 있을것이다.
4 )
따라서 답은 11
