다항식의 연산 #3 - 다항식의 나눗셈

이번 내용까지 마치면

우리는 이제 다항식의 덧셈 뺄셈 곱셈 나눗셈

다 할줄알게 되는거니까

다항식을 가지고 사칙연산시키면 할수있어야된다.

 

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- 나눗셈 연산 원리 복습 -

 

11÷2 는?

이걸 처음 배울때 어떻게 계산했는지 상기해보자.

 

11에서 2를 나누는거니까 일단 이렇게 쓰고

2×5 = 10이고

2×6을 하면 12라서 11보다 커져버리니까

2×5=10 임을 이용해서

5와 10을 저렇게 써주고

11에서 10을 빼야하니까 빼주면 1이 남는다.

따라서 11÷2 는

몫이 5이고 나머지가 1이다.

그리고 2로 나눌거면

나머지가 2 이상이면 안된다.

즉 나머지는 2보다 작아야한다.

 

혹시 이거 까먹었다면

지금 다항식 나눗셈 공부하실때가 아니다.

자연수 나눗셈부터 공부하고 오자.

자연수도 나눗셈 할줄모르는데 다항식 나눗셈을 어떻게해

 

아무튼 11÷2의 결론을 다시 쓰면

조금더 자세하게 쓰면

11÷2 가 몫이 5이고 나머지가 1이라는 말은

11을 2로 나누면

몫이 5이고

나머지가 1입니다.

라는 말이다.

 

그럼 10÷2 는?

10을 2로 나누면

몫이 5이고

나머지가 0입니다. (나누어떨어집니다.)

 

왜 11은 나머지가 생기고

10은 나머지가 안생기는가?

10이 2의 배수였기 때문이다.

즉 10 = 2×5 이기 때문에

10은 2로 나누어떨어진다고 표현하는것이다.

그리고 11은

10 + 1 인데

10 = 2×5 이니까

11을 아래와 같이 쓸수 있다.

 

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- 다항식의 나눗셈연산 원리 -

 

그래서 갑자기 자연수가지고 나눗셈하는걸 왜 복습했냐면

다항식의 나눗셈도 저것과 똑같은 방법으로 한다.

즉 그냥 하던대로 하면 된다.

 

1. 각 다항식을 내림차순으로 정리한다.

2. 자연수의 나눗셈과 같은 방법으로 계산한다.

 

 

그럼 직접 해보자.

 

1. 각 다항식을 내림차순으로 정리한다.

일단 이문제는 이미 되어있어서 패스해도된다.

왜 내림차순으로 정리하냐면

그냥 그게 계산이 편해서이다.

아마 여기까지 왔다면 이미 자기가 익숙해져서

다항식을 연산하려고 우선 내림차순으로 정리하고 있을것이다.

 

2. 자연수의 나눗셈과 같은 방법으로 계산한다.

왜 내림차순으로 정리했는지 이제 느껴질것이다.

 

아까 나머지는 나누는것보다 작아야한다고 했다.

따라서 지금 이차식으로 나눌거니까

나머지는 이차식보다 작게 나와야한다.

여기서 이차식보다 작다는건 크기가 작다는게 아니라

차수가 작다는걸 의미한다.

다항식의 나눗셈연산에서는

나머지의 차수가 더 작아야한다.

즉 이차식으로 나눴으니

나머지는 이차식보다 차수가 작아야한다.

따라서 일차식이나 상수가 나머지로 나와야한다.

 

그러려면 지금

삼차식을 이차식으로 나눌건데

나머지는 이차식보다 차수가 작아야하니까

삼차식에서의 삼차항과 이차항을 전부 없애줘야한다.

없애려면 간단하다.

얘를 없애려면 4x³ 을 만들면 되는것이다.

4x³ 을 만들려면

나누려는 이차식에 있는 이차항 x² 에다가

4x를 곱해주면 된다.

따라서 이런식으로 4x가 올라가고

이 4x는 x²에만 곱해지는게 아니라

x²+2x-3 에 곱해지는거니까

아래에는 (4x) × (x²+2x-3) 을 적어줘야한다.

그리고 하던대로 다음 연산을 위해

뺄셈연산을 해주면

근데 여기서 끝나면 안된다.

현재 나머지가 이차식이기 때문이다.

이차식으로 나누는거기 때문에

나머지는 이차식보다 차수가 작아야한다.

따라서 저 -3x²를 없애기 위해

-3x²를 또 만들어줘야한다.

x² 에 -3 을 곱하면 된다.

따라서 아까 한것과 똑같이

다음과 같이 쓰면 된다.

 

드디어 나머지가 일차식이 되었다.

이 나눗셈연산의 나머지는 15x-10 인 것이다.

그럼 몫은?

위에 써있는대로 4x-3 이다.

 

 

따라서 이 문제의 답은

조금더 자세히 쓰면

4x³ + 5x² - 3x - 1 을

x² + 2x - 3 으로 나누면

몫이 4x-3 이고

나머지가 15x-10 입니다.

 

그리고 나아가서 이것을 아까 자연수의 나눗셈연산 결과 표현법중 하나인

이 방식으로 표현하면

 

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- 다항식의 나눗셈에 대한 등식 -

방금 한게 다항식의 나눗셈의 결과값을

등식으로 표현한것이다.

이를 일반화할수 있는데

각 다항식들을 아래와 같이 표현할것이다.

즉 위 식은 아래와 같이 표현된다.

그리고 이 식의 뜻은

A를 B로 나누면 몫이 Q이고 나머지가 R입니다.

여기서 왜 몫은 Q, 나머지는 R이라 쓸까?

몫이 영어로 Quotient 라서 앞글자 따온거고

나머지가 영어로 Remainder 라서 앞글자 따온거다.

 

이제 진짜 일반화하면

다항식 A를 다항식 B(B≠0) 로 나누었을때

몫을 Q, 나머지를 R 이라 하면

아래 식이 성립한다.

단, R은 상수이거나 (R의 차수) < (B의 차수) 이다.

특히 R=0 이면 나머지가 없다는거니까

A는 B로 나누어떨어진다. 라고 표현한다.

 

물론 외울필요는 전혀 없는거다.

다항식의 나눗셈 연산원리를 이해했다면

너무 당연하게 따라오는 내용이라

사실 위의 일반화 내용은 외울게 하나도 없는 내용이다.

0으로 나눌수 없으니까 B≠0 이라는 말이 들어간거고

A를 B로 나누니까

당연히 나머지 R은 B보다 차수가 작아야하는거고

예외적으로 B가 상수이면 나머지도 상수니까

R은 상수이거나 (R의 차수) < (B의 차수) 라는 말이 나온것이다.

 

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그냥 이번에 알아가야할건

1. 다항식의 나눗셈연산의 원리

2. 나눗셈연산의 결과의 표현법

이 두개이다.

 

1. 다항식의 나눗셈연산의 원리

일단 내림차순으로 다 정리한다음

자연수의 나눗셈과 같은 방법으로 계산한다.

 

2. 나눗셈연산의 결과의 표현법

 

 

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- 예제 -

1 )

쎈 고등수학(상) 2021년 / 33번 문제

 

다항식의 나눗셈은 어떻게한다?

일단 내림차순으로 정리한다.

근데 이 문제는 이미 되어있으니 패스

그다음에는 어떻게한다?

자연수의 나눗셈하듯이 똑같이 하면 된다.

 

우선 일차식으로 나누는거니까

나머지는 일차식보다 차수가 작아야하고

따라서 나머지는 상수가 나와야한다.

일단 첫단계를 했는데 나머지가 이차식이다.

나머지가 상수만 남을때까지 계속해야한다.

드디어 나머지가 상수만 남았다.

따라서 답은

몫 : x²+x+3

나머지 : 14

 

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2 )

쎈 고등수학(상) 2021년 / 38번 문제

 

P(x) 같은 이상하게생긴게 등장했다.

생김새를 보고 겁먹지 말자.

P(x)는 그냥 다항식인것이다.

우리가 다항식 A, 다항식 B 이런식으로 표현하던걸

이 문제에선 다항식 P(x) 라 표현하고 싶었던것 뿐이다.

 

근데 문제를 잘 보니

문제에서 해준 표현이 뭔가 익숙하지 않은가?

어디서 본거같지 않은가?

 

아까 풀어줬던문제에서의 상황을 예시로 그대로 가져오겠다.

 

감이 오지 않는가?

P(x)가 들어갈 자리는 어디인가?

보라색으로 표시해줬다.

 

이제 그대로 넣어볼까?

그리고 아까 이를 등식으로 표현하는법이 있었다.

다항식 A를

다항식 B로 나누면

몫이 Q이고 나머지가 R입니다.

이걸 또 그대로 넣어볼까?

P(x)를 표현했으니

이제 전개하고 계산하기만 하면 된다.

&amp;there4; 라는건 '따라서' 라는 뜻의 수학 기호이다.

 

따라서 답은 x³+2x²-5x-13