내용이 많지는 않은곳이지만
절대 모르면 안되기 때문에
가볍게 보면 안된다.
- 항등식이란? -
우선 등식은
두가지로 나눌수 있는데
1. 항등식
2. 방정식
이중에서 이번엔 항등식을 공부할것이다.
항등식 : 문자를 포함하는 등식에서,
그 문자에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식
무슨 말이냐면
우선 이건 x라는 문자가 포함된 등식이다.
근데 2x = x+x 라는건 너무 당연한거 아닌가?
따라서 위 식에서는 x의 값이 몇이든
무조건 성립하는 등식이다.
따라서 저건 항등식이다.
정확히는 x에 대한 항등식이다.
등식은 등식인데
항상 성립하는 등식이 항등식인것이다.
즉 그냥 좌변과 우변이 완전히 똑같이생기면 항등식이다.
다만 주의할건, 1+1=2 이런 식은
항상 성립하긴 하지만
문자를 포함하지는 않기때문에 항등식이라 부르지는 않는다.
그러면
이건 항등식인가?
우선 문자 x가 포함된 등식이긴 한데
x의 값이 1이어야만 저 등식이 성립하게 된다.
따라서 x-1=0 은 항등식이 아니다.
조금 tmi인데, 이런걸 방정식이라 한다.
- 예제로 중간점검 -
ㄱ )
x²-x=0 을 만족하려면 x=0 이거나 x=1 이어야 한다.
이 외에는 만족하지 않는다.
즉 이 등식이 항상 성립하는게 아니다.
따라서 이건 항등식이 아니다.
따라서 ㄱ(x)
ㄴ )
3x+1 = 2x-1 을 만족하려면
x=-2 이어야 한다.
이 외에는 만족하지 않는다.
즉 이 등식이 항상 성립하는게 아니다.
따라서 이건 항등식이 아니다.
따라서 ㄴ(x)
ㄷ )
우변을 전개해보면
x²-4x+5 가 나오는데
좌변이 x²-4x+5이다.
x²-4x+5 = x²-4x+5 라는 등식은
너무 당연하게 항상 성립하는 등식이다.
따라서 이건 항등식이다.
따라서 ㄷ(o)
ㄹ )
좌변을 전개해보면
x²+2x+1-x-1 = x²+x 가 나온다.
근데 우변도 x²+x이다.
x²+x = x²+x 라는 등식은
너무 당연하게 항상 성립하는 등식이다.
따라서 이건 항등식이다.
따라서 ㄹ(o)
따라서 답은 ㄷ, ㄹ
- 근데 항상 성립하는 식은 의미가 없지 않을까? -
x²+x = x²+x 이다.
이건 너무 당연한거고
x에 뭘 넣어도 성립하기 때문에 x의 값을 구할수 있는것도 아니다.
너무 당연한거라서 아무 의미가 없는짓이다.
근데 항등식의 목적은 x의 값을 구하는데 있는게 아니다.
x의 값이 무엇이든 항상 등식이 성립하도록 만드는데에 목적이 있다.
예를 들어서,
2x+1 = ax+1 가 항등식이 되도록 하는 a의 값은?
이라고 물으면,
좌변과 우변이 완벽히 같아야하므로
x의 계수도 서로 같아야하고
좌변의 x의 계수가 2이므로
우변의 x의 계수도 2가 되어야 하므로
a = 2 라고 구할수 있다.
항등식 자체로 놓고 보면 아무 의미가 없는건 맞다.
근데도 이걸 왜 알아야하냐면
식을 세우긴 세웠는데 항등식이면 아무 의미가 없기때문에
지금 자기 앞에 있는 식이 항등식인지, 아닌지 판별할수 있어야한다.
그리고 항등식이 아무의미 없다는건
x²+x = x²+x 이런 항등식에서 x값 구할때 얘기이지
2x+1 = ax+1 가 항등식 이라면
a=2 입니다. 라고 대답할수 있지않은가?
즉 항등식은 식 그 자체로 의미가 있다기보단
식이 항등식인지, 아닌지 판별할때 의미가 있다.
- 미정계수법 -
사실 미정계수법 이라는 용어만 모르는거지
미정계수법이 뭐하는건지는 아까 이미 설명을 마쳤다.
2x+1 = ax+1 가 항등식이 되도록 하는 a의 값은?
a=2
너무 쉬운 문제이다.
근데 a=2 라는건 어떻게알았나?
2x+1 = ax+1 가 항등식이 되려면
ax+1이 2x+1 과 완벽히 똑같이 생겨야하니까
x의 계수도 똑같아야하고
그래서 a=2 인것입니다. 라고 설명할수 있다.
여기서 우리가 구한 a가 바로 미정계수이고
이런식으로 항등식의 뜻과 성질을 이용해서
미정계수를 구하는 방법을 '미정계수법' 이라 한다.
미정계수 : 미정인 계수
즉 계수는 계수인데
아직 정확한 값이 정해지지 않은 계수
참고로, 상수항의 값도 계수이다.
혹시 잊어버렸을까봐 잠깐 복습해줬다.
미정계수법은 두가지로 나눌수 있는데
1. 계수비교법
말 그대로 계수를 비교하는것.
우리가 아까 한게 계수비교법이다.
2x+1 = ax+1 가 항등식이 되도록 하는 a의 값은?
a는 x의 계수인데
항등식이려면 x의 계수가 같아야하니까 a=2이다.
2. 수치대입법
식이 좀 복잡해서 전개하기 곤란할때 쓰이는 방법인데
말 그대로 어떤 수치를 대입하는것이다.
만약 x에 대한 항등식이면
'x값에 관계없이'
'x에 어떤 값을 넣어도'
항상 성립해야할거 아닌가?
즉 '임의의 x값'을 아무거나 정해서 식에 대입하면
그래도 식이 성립해야할거 아닌가?
이걸 이용해서 구하는것이다.
2x+1 = ax+1 가 항등식이 되도록 하는 a의 값은?
이걸 수치대입법으로 구해보자.
x값을 아무거나 대입해도 된다.
난 x에 1을 넣어보겠다.
x=1이라면, 2+1 = a+1 이 되고
3 = a+1 이므로
따라서 a=2 이다.
여기서 어떨때 계수비교법을 쓰는지,
어떨때 수치대입법을 쓰는지
이건 개인차이고 문제를 풀어보면서 감을 잡는거다.
그냥 두가지 방법 소개해주면서
이거 두가지 방법가지고 알아서 해봐라 라는게 이번 내용이지
이럴때 이방법쓰고 저럴때 저방법써라 를 알려주는게 아니다.
- 예제 -
1 )
항등식이 되려면 좌변과 우변이 어떻게 되어야한다?
완전히 똑같이생겨야한다.
1. 계수비교법으로 풀이
좌변에서 x²의 계수는 a이고
우변에서 x²의 계수는 1이다.
a=1 이다.
좌변에서 x의 계수는 b이고
우변에서 x의 계수는 0이다.
b=0 이다.
좌변에서 상수항은 c이고
우변에서 상수항은 5이다.
c=5 이다.
따라서 답은 a=1, b=0, c=5
2. 수치대입법으로 풀이
x=0을 대입하면
0+0+c = 0+5
따라서 c=5 이다.
x=1을 대입하면
a+b+5 = 1+5
따라서 a+b=1 이다.
x=-1을 대입하면
a-b+5 = 1+5
따라서 a-b=1 이다.
a+b=1 과 연립하면
a=1, b=0이다.
따라서 답은 a=1, b=0, c=5
2 )
1. 계수비교법 풀이
우선 계수를 비교하기 위해
좌변의 식을 전개한다음
내림차순으로 정리해줄 필요가 있다.
좌변을 전개하면
근데 좌변과 우변의 계수가 완전히 같아야한다.
좌변에서 x²의 계수는 a 이고
우변에서 x²의 계수는 1 이다.
따라서 a=1 이다.
좌변에서 상수항은 -c 이고
우변에서 상수항은 -3 이다.
따라서 c=3 이다.
좌변에서 x의 계수는 -a+b+c = b+2 이고
우변에서 x의 계수는 0이다.
따라서 b=-2 이다.
따라서 답은 a=1, b=-2, c=3
2. 수치대입법 풀이
이 식에 x=1을 대입하면
0+b+0 = 1-3 = -2
따라서 b=-2
이번엔 x=0을 대입하면
0+0-c = -3
따라서 c=3
이번엔 x=2를 대입하면
2a+2b+c = 4-3
b=-2, c=3이므로 대입해서 정리하면
2a-4+3=1
따라서 2a=2 이고
따라서 a=1
따라서 답은 a=1, b=-2, c=3
3. 적당히 섞어서 풀이
이 식에 x=1을 대입하면
아까처럼 b=-2 임을 알수 있다.
그리고 좌변을 전개하면
좌변의 상수항이 -c임을 알수 있는데
우변의 상수항이 -3이므로
c=3 임을 알수있다.
그리고 좌변을 전개하면
좌변에서 x²의 계수가 a임을 알수있다.
우변에서 x²의 계수가 1이므로
a=1 이다.
따라서 답은 a=1, b=-2, c=3
이렇듯 미정계수법은
이럴땐 이렇게하고 저럴땐 저렇게한다는 법칙이 있는게 아니라
그냥 푸는사람이 편한 방법대로 하면 된다.
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