2023학년도 6월 모의평가 수학 공통 1번~15번 해설

 

혹시 본인이 못 푼 문제인데

어떻게 푸는건지 궁금해서 이 글을 보는거라면

이 글을 보지 말것.

남이 풀어주는걸로는 실력이 늘지 않는다.

풀긴 풀었는데 풀면서 100%확신하진 못하고 약간 찜찜했거나

다른 풀이도 있을까 해서 찾아보는거라면

매우 환영이다.

 

원하시는 문제로 바로 가고싶으면

N번 문제로 가고싶다면

N )

이 형태로 검색하시면 됩니다.

예를들어 17번 문제로 가고싶으면  17 )

 

쉬운건 빠르게 넘어가면서

비약 하나도 없이 풀어보겠습니다.

제 생각에 가장 출제자의 의도에 근접했다 생각한 풀이만 담았습니다.

 

 

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1 )

 

지수법칙 문제

답은 1번

 

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2 )

 

답은 2번

 

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3 )

 

답은 4번

 

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4 )

 

답은 2번

 

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5 )

 

답은 3번

 

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6 )

 

f(x)는 세 구간으로 나뉘어서 정의된 함수인데,

x+a,  x,  bx-2

셋다 다항함수이므로

f(x)는 각 구간 내에서 전부 연속이며,

따라서 |f(x)|도 연속이다.

따라서 우리는,

각 구간 사이의 경계지점 에서의 연속성만 판단하면 된다.

그 경계지점이 바로 x=-1 과 x=3 이다.

 

우선 x=-1 에서의 연속성부터 보자.

x=-1 에서의 우극한과 함숫값은 같으므로

좌극한과 우극한값(함숫값)만 같으면 연속이다.

 

다음으로 x=3 에서의 연속성

이것도 우극한과 함숫값이 같으므로

좌극한과 함숫값만 같으면 연속이다.

 

따라서, a+b = 2+5/3 = 11/3

따라서 답은 5번

 

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7 )

 

미지수가 많고,

주어진 함수가 그래프를 그리기 쉬운 함수이다.

그러면 개인적으로 그래프를 그리는게 좋다고 생각한다.

직관적이라서 실수도 줄일 수 있다.

 

그려보니 a, b, f(a), f(b) 모두 한번에 알아냈다.

근데 우리가 구할건 ( a, f(a) ) , ( b, f(b) ) 를 지나는

직선의 기울기이다.
직선의 기울기는 일정하기 때문에,

( a, f(a) ) , ( b, f(b) ) 사이의 평균변화율이 바로 직선의 기울기이다.

따라서 답은 4번

 

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8 )

 

아마 이문제는 대부분

f'(x) = 5 일때가 최솟값이라는걸 직관적으로 알아내고

그렇게 둔다음 풀었을텐데,

좀더 수학적으로 엄밀하게 풀어주겠다.

일단 f(1)의 값을 알고 있고,

(나) 조건에서 1<x<5 인 x에 대한 조건을 줬으니

이를 활용하면 된다.

 

정적분의 정의에 의하면, 아래의 식을 얻는다.

f(1)=3 대입해서 이항하면, f(5)는

그런데, 1<x<5 에서 f'(x)≥5 이므로,

따라서 f(5)는

따라서 f(5)의 최솟값은 23이다.

따라서 답은 3번

 

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9 )

 

f(x)-g(x) 의 값이 x≥0 에서 0 이상이므로,

f(x)-g(x)가 x≥0 에서 중근만 갖거나, 허근만 가져야한다.

따라서, 만약 f(x)-g(x) 라는 삼차함수가

x≥0 에서 극솟값을 가진다면, 극솟값이 0 이상이어야하며,

극솟값을 가지지 않는다면,

f(x)-g(x)라는 삼차함수는 x≥0에서 계속 증가할것이므로

f(x)-g(x) 의 x=0 에서의 함숫값 f(0)-g(0)≥0 이기만 하면 된다.

대부분은 x≥0 에서 극솟값을 갖도록 출제하니까,

극솟값을 갖는 경우를 먼저 풀겠다.

극솟값을 갖는지 확인하려면

그냥 극소지점이 x≥0에 있는지 보면 된다.

삼차함수라서 미분가능한 함수고, f'(x)-g'(x)=0 이면 극점이다.

f(x)-g(x)를 미분하면

따라서 f(x)-g(x)는 x=1 에서 극솟값을 갖는다.

따라서, 극솟값이 0 이상이기만 하면

f(x)-g(x) 의 값은 x≥0 에서 항상 0 이상이다.

따라서, f(x)-g(x)에 x=1을 대입하면

따라서, a≤5 이고

따라서 a의 최댓값은 5이다.

 

따라서 답은 5번

 

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10 )

 

이 문제는 보고 좀 놀랐던게,

아직 해설지가 안나와서 확신은 못하겠는데

이거 출제의도가 '중등기하 내용 아느냐?' 이거같다.

이젠 진짜 중등기하 내용까지 출제하겠다는 뜻이다.

 

아무튼 풀어보겠다.

문제에서 준 조건들을 그림에 표시하면

삼각형 ABC에서 두 변의 길이 알고,

각 하나에 대한 코사인값 알기때문에

코사인법칙을 이용하면 선분 AC의 길이를 알아낼 수 있다.

그리고 AC의 길이를 알아내고 싶을수밖에 없다.

선분 AC의 중점 M을 괜히 준게 아닐거다.

아무튼 AC의 길이를 구하면

M이 AC의 중점인것을 감안하여, 알아낸 정보를 그림에 더 표현하면

 

여기서, MD의 길이를 구하는게 문제인데,

중학생때 배우는 원의 성질중 이런게 있다.

원 내부에서 서로 교차하는 두 현에 대한 성질이다.

이걸 이용하면 금방 끝난다.

증명은 의외로 간단하다.

파란색 삼각형과 초록색 삼각형은

닮음이다.

우선 빨갛게 표시한 두 각은

맞꼭지각이므로 크기가 같다.

 

그리고, 여기서 빨갛게 표시한 두 각은

둘다 노랗게 표시한 호 에 대한 원주각이므로

두 각은 크기가 같다.

 

삼각형에서 두 각의 크기가 같으므로, AA 닮음이다.

중학생때 삼각형 각 표시하던대로 해주고,

이 닮음에 대한 대응비를 비례식으로 쓰면

아까 써놨던 관계식이 증명 완료된다.

 

 

이제 성질에 대한 증명은 끝났고, 문제로 돌아오자.

아까 증명했던 원의 성질에 의해,

우린 AM 알고 MC 알고있으니

BM 의 길이만 알아내면 되는데,

BM의 길이는 코사인법칙으로 쉽게 알아낼 수 있다.

삼각형 ABM 에 대해서 코사인법칙 적용하면 된다.

이제 BM의 길이도 알아냈고,

여기 대입만 하면 끝

 

따라서 답은 3번

 

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11 )

 

이거는 그냥 기본예제수준인데 왜 4점인지 모르겠다.

 

우선 당연히 출발한 시각부터 점 P가 원점으로 돌아올때까지

시간이 얼마큼 걸리느냐를 먼저 구해야

그동안 Q가 움직인 거리를 구할수 있다.

 

P가 원점으로 돌아온다 = 출발 후 P의 위치가 다시 0이 된다.

따라서 답은 5번

 

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12 )

 

이 두 조건에 의해

이런 결론을 얻는다.

 

그다음 이 조건은

뭔가 (가) 조건을 이용하라는 뜻 같다.

왜냐면, 제 5항은 음수인데 제 7항은 양수이다.

근데 절댓값을 저런 범위로 더하라고?

수상해서 좌변, 우변 다 풀어써봤는데,

그 추론이 맞았던거같다.

 

좌변을 풀어쓰면

깔끔하게 절댓값이 전부 벗겨진다.

 

이번엔 우변을 풀어쓰면

6번째 항의 부호를 모르니 일단 저렇게 ±로 남겨놨다.

좌변 = 우변 이므로

이제 정리하면

 

근데 여기서, 6번째 항의 부호를 모르므로

양수인 경우와 음수인 경우를 나눠줘야한다.

감이 있으면 느꼈겠지만, 음수일 때가 계산이 더 쉽다.

따라서, 음수일 때부터 해볼것이다.

따라서 답은 3번

 

이긴 한데, 계산실수가 있었을수도 있으니

6번째 항이 양수인 경우도 해보자.

이걸 해봤는데 얘도 말이된다?

둘중 하나는 계산실수 했다는거다.

 

따라서 답은 진짜 3번

 

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13 )

 

문제가 참 길다

천천히 읽어보면, 문제 상황이 어려운건 아니다.

문제 상황을 구구절절 설명하느라 길어진것이다.

 

P₁의 y좌표 = A의 y좌표

Q₁의 x좌표 = P₁의 x좌표

P₂의 y좌표 = Q₁의 y좌표

Q₂의 x좌표 = P₂의 x좌표

...

이런식으로 쭉 가는데, 이때

이렇게 되게 하라한다.

이게 무슨상황인지 쉽게 쓰면

물론 Qn의 x좌표가 n이 커질수록 감소하니

저렇게 쓸 수 있는것이다.

그렇지 않으면 저렇게 단정지으면 안된다.

 

Qn의 x좌표가 n이 커짐에 따라 감소한다는 것은

문제의 그림상으로도 그렇고, 직관적으로도 그렇게 느껴지긴 하는데,

완전히 엄밀한 풀이를 위해 이것의 증명을 적어두겠다.

 

좀 딴길로 샌느낌인데, 다시 문제를 풀어보자.

 

따라서 답은 1번

 

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14 )

 

ㄱ )

f(0) = 0 인지 판별하라는건

그냥 x=0을 넣어보라는것일 확률이 높다.

더구나 이건 ㄱ 선지이기때문에,

대부분은 그냥 대입해서 푸는것이다.

기출문제 많이풀어봤으면 이해할것이다.

근데 저건 f(x)를 정적분한 식이지 f(x)가 아니다.

f(x)를 구하고 싶다면 양변을 미분하면 된다.

근데, g(x)가 삼차함수이므로

g'(x)는 이차함수이고,

따라서 g'(x)는 x=0 에서 연속이어야한다.

따라서, g'(x)가 x=0 에서

좌극한 = 우극한 = 함숫값

이어야 한다.

우극한 = 함숫값 = f(0) 이므로

좌극한 = f(0) 이면 연속이 된다.

좌극한은 -f(0) 이므로

-f(0) = f(0) 이다.

따라서 f(0) = 0 이다.

따라서 ㄱ(o)

 

 

ㄴ )

f(x)가 극댓값을 가지는지 판별하라 한다.

f(x)는 이미 어느정도 정의되어있다.

아까 이 식을 구했는데,

g'(x)가 이차함수라는건 이미 알기때문이다.

따라서, f(x)는 이렇게 정의된다.

문제에서 g(x)는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수라 했으므로,

g'(x)는 최고차항의 계수가 양수인 이차함수이다.

따라서 f(x)는

x<0 에서는 이차함수 g'(x)를 x축 대칭이동한것이고

x≥0 에서는 이차함수 g'(x) 이다.

따라서 f(x)의 개형은 아래 세가지중 하나이다.

각각 g'(x)의 꼭짓점의 x좌표가

양수인경우, 0인경우, 음수인경우 로 나눈것이다.

 

첫번째나 세번째것이 f(x)의 그래프라면, f(x)는 극댓값을 갖는다.

두번째것이 f(x)의 그래프라면, f(x)는 극댓값을 갖지 않는다?

첫번째건 미분불가능하니 극값이 아니지않나요? 할수 있는데

미분가능성이랑 극값은 아무 상관이 없다.

미분가능하지 않아도 극값을 가질 수 있다.

이걸 모르겠다면, 극값의 정의를 다시 공부하자.

 

첫번째, 세번째것과 두번째것의 큰 차이는

첫번째, 세번째것은 x=0에서 미분불가능한데

두번째것은 x=0에서 미분가능하다는것이다.

따라서, f(x)의 x=0 에서의 미분가능성만 따지면

f(x)의 극댓값 유무를 알 수 있다.

미분가능하면 두번째 것이므로 극댓값이 없는거고

미분불가능하면 극댓값이 있는거다.

 

이를 판단하는 좋은 재료가 있다.

 이걸 양변을 또 미분해보면

그런데, g(x)가 삼차함수기 때문에

g''(x) 는 일차함수이다.

따라서, g''(x)는 x=0 에서 연속이어야한다.

따라서, ㄱ 선지를 풀때와 같은 논리로

f'(0)=0 이어야 한다.

즉, f(x)는 x=0 에서 미분가능하다. 

 

따라서, f(x)의 개형으로 가능한건 이거밖에 없다.

따라서, f(x)는 극댓값이 존재하지 않는다.

따라서 ㄴ(x)

 

 

ㄷ )

2<f(1)<4 이면, f(x)=x 의 실근이 몇개냐? 라는거다.

일단 f(x)의 개형이 이러하다.

사실 딱봐도 실근3개긴 한데,

해설글이니까 조금 엄밀하게 적어주겠다.

 

x = h(x) 라 두면,

f(x)=h(x)의 실근이 몇개냐는건데,

 

x≥0 일때부터 해보겠다.

 

f'(0)=0 이고 h'(0)=1 이므로

f(c)<h(c) 인 실수 c가 0<c 에 존재한다.

그리고, h(1)=1 이고 2<f(1) 이므로

f(1)>h(1) 이다.

따라서, f(t)=h(t)인 실수 t가

0<c<t<1 에 존재한다.

근데 f(x)는 이차함수고, h(x)는 직선이기 때문에

그러한 t는 유일하게 하나만 존재한다.

따라서, x≥0 에서 교점의 개수는

x=t 에서 한개, x=0 에서 한개 이므로

총 두개이다.

 

x<0 일때도 같은 논리로 하면 된다.

이걸 이용하면 좀더 간단한데,

g(x)가 삼차함수인데

g(0)=0 이고

g'(0) = 0 이고

g''(0) = f'(0)= 0 이므로,

g(x)는 삼차항밖에 없다.

따라서, g'(x)도 이차항밖에 없으므로,

g'(x)는 우함수이다.

따라서 g'(x) = g'(-x) 이다.

따라서 f(x) = -f(-x) 이고,

따라서 f(x)는 기함수이다.

 

f(x)도 기함수고 h(x)도 기함수이므로

f(x)-h(x)도 기함수이다.

따라서, 아까 f(t)-h(t) = 0 이라 구했으니

-f(-t)+h(-t) = 0 이다.

따라서 x=-t도 교점이다.

 

따라서 교점은 x=-t, 0, t 총 3개로,

결론적으로 ㄷ은 맞는 선지가 된다.

따라서 ㄷ(o)

 

 

따라서 답은 4번

 

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15 )

 

이건 그냥 하나하나 해보는게 더 빠르게 풀리는 문제였다.

하다보면 규칙이 보여서, 의외로 계산이 많지 않다.

왜 a₄ 까지만 하고 멈췄느냐?

k는 자연수라서, k=1 이면 a₄ = 0 이 되는

특별한 이벤트가 있기때문이다.

만약 a₄ = 0 이라면,

이런식으로 주기적으로 반복되기 때문이다.

이는, 문제의 조건을 만족하게 된다.

따라서, k가 될수있는 값중 하나는 1이다.

k=1

 

그럼 k가 1이 아닌 경우에는? 계속 갈테니까 해보자.

k-2 가 또나왔다.

k=2 라면 6번째항이 0이 되므로,

이것도 같은 논리로 주기적으로 반복될것이다.

이건 안된다. 그래서 k는 2가 될 수 없다.

 

이것도 계속 가보자.

k-3 또나왔다.

k=3 이라면, 8번째항은 0인거고,

같은 논리로 하면, 7을 주기로 0이 반복되는 수열이 된다.

따라서 k=3 인것도 가능하다.

k=3

 

k가 3이 아닌경우도 또 계속 가보자.

k-4 또나왔다. 이번엔 주기가 9인 수열이다.

 

이쯤 되면 눈치챘을것이다.

같은 패턴의 반복이다.

a₄ 부터 짝수번째 항마다 계속 이런 이벤트가 발생하고

그럴때마다 k값은 1씩 증가하니

나름대로의 일반화를 해볼 수 있다.

그리고, 홀수번째 항에서는 분자가 0이 아니니

이때는 절대로 0이 될 수 없다.

따라서, 22번째 항이 0이 되는 방법은

분자가 0이 되어서,

주기적으로 항이 0이 되도록 하는 방법밖에 없다.

여기서, 우리는 n=5 인것까지 해본거다.

n=6 일때를 해보면,

주기는 11이고, 그럼 22번째 항은 0이 될수 없으니 탈락

n=7 일때는

주기는 13이고 탈락

n=8, ~~~ n=10까지 전부 탈락

결국 가능한건 n=11 일때

즉 22번째 항에서 드디어 0이 되는 수밖에 없다.

그리고 그때의 k는, k=n-1 에서 n=11 이므로

k=10 이다.

 

따라서, 종합하면

k값이 될 수 있는것은 1, 3, 10

전부 더하면 14이다.

따라서 답은 2번