함수 #5 - 무리함수

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- 개요 -

저번에 다룬게 유리함수면,

이번에 다룰건 무리함수다.

유리함수보다 쉬우나, 유리함수와 마찬가지로

무리함수의 개념은 고1때만 유일하게 다루므로,

이때 똑바로 안해놓으면 고3때 고생한다.

 

 

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- 무리함수란? -

함수식이 무리식인 함수를 무리함수라 한다.

근데, 우린 아직 무리식이 뭔지 모른다.

따라서, 무리식이 무엇인지, 어떻게 다루는지

이런것부터 먼저 할것이다.

 

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- 무리식의 정의 -

근호가 등장하는 식인데,

이 식을 아무리 정리해도 유리식으로 나타낼 수 없다면,

그 식을 무리식이라 한다.

위의 세 식은 전부 무리식이다.

 

 

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- 무리식의 값이 실수가 되는 조건 -

일단, 왜 실수가 되어야 하는가?

이유는 단순한데,

고등수학에서는 실수인 무리식만 다루기 때문이다.

무리식의 값이 실수가 되려면,

루트(근호) 안의 수가 음수만 아니면 된다.

따라서, 저 식의 값이 실수가 되는 조건은

아주 간단하다.

간단하지만 중요한 내용이며,

이 조건 자체가 무리함수의 정의역이 된다.

 

 

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- 무리함수의 정의역 -

이 함수는,

무리식으로 이루어진 함수이기 때문에

무리식의 값이 실수가 되는 범위에서만 정의되어야한다.

따라서, 이 함수의 정의역은 x≥0 이다.

 

 

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- 중간점검 예제 -

1 )

 

일단 무리함수이며,

무리함수는 루트의 계산값이 실수가 되는 범위에서만 정의되어야한다.

따라서 일단 정의역은 x≥1 이다.

하지만 아직 끝내면 안된다. 분모는 0이 될수 없기때문에

분모가 0이 될때도 정의역에서 빼줘야하고,

x=2 에서 분모가 0이 된다.

따라서, 최종적인 정의역은

1≤x<2,  2<x 이다.

 

이제 함숫값을 계산만 하면 된다.

 

첫번째 풀이 : 그냥 대입

x=5 대입해서 계산하면 답은 1

 

두번째 풀이 : 분모의 유리화

대입해서 계산하면 답은 1

 

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2 )

 

a₂, a₁ 각각 구해서 빼주면 된다.

 

a₁부터 구해보자.

다음으로 a₂

이제 둘을 빼주기만 하면 끝

따라서 답은 3

 

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- 무리함수의 그래프 -

무리함수의 그래프는 딱 두개만 파악하면 끝난다.

1. 그래프의 정의역과 '시작점'

2. 증가, 감소 여부

 

1. 그래프의 정의역과 시작점 파악

이런 무리함수가 있다고 하고,

이 무리함수의 그래프에서 '시작점'을 찾아보자.

시작점 이라는건, 정의역의 경계지점을 찾으라는거다.

무슨 말이냐면, 저 함수는 정의역이 x≥0 이다.

따라서 정의역의 경계지점은 x=0 이고,

따라서 이 함수의 시작점은 x=0 이다.

우리의 목표는 그래프를 그리는거고

그리려면 점을 찍어야하니까 함숫값도 구해보면

f(0) = 1

따라서, 이 함수의 그래프를 그릴 때는

시작점이 (0, 1) 이고 정의역은 x≥0 이므로

(0, 1) 에서 오른쪽으로 출발하는 그래프를 그리면 된다.

출발해서 어떤 모양으로 가는지는

증가, 감소 여부를 파악하면 된다.

 

 

2. 증가, 감소 여부 파악

이 함수는 x가 증가하면 함숫값도 따라서 증가한다.

루트의 계산값은 근호 안의 값이 커질수록 커지기 때문이다.

따라서, f(x)는 증가하는 함수이다.

 

 

시작점이 (0, 1) 이며 정의역이 x≥0 이다.

증가하는 함수이다.

 

이를 종합하면, (0, 1)에서 시작하여 오른쪽 위로 출발하도록 그리면 된다.

기울기는 점점 작아지게 그리면 된다.

왜 기울기가 점점 작아지는지는 x값들 하나씩 넣다보면 눈치채게된다.

그런데, 저 함수가 언제까지 증가하느냐?

그냥 계속 증가만 한다.

그리고, 여기엔 상한이 없다.

함숫값이 끝없이, 계속, 무한히 커질거라는 뜻이다.

대신 기울기가 좀 완만한것 뿐이다.

즉, 이 함수는 '점근선' 이 없다.

 

정확히 어떻게 완만하게 그리나요? 할수 있는데

그냥 적당히 완만하게 그리면 된다.

어차피 사람이 그리는거라, 아주 정확하게 그리려 할 필요는 없다.

적당히 어떻게 하라는건지 잘 모르겠으면,

구하기 쉬운 점을 몇개 찍은다음 부드럽게 이어주자.

 

 

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- 중간점검 예제 -

 

1. 정의역을 찾는다.

이 함수는 루트의 계산값이 실수인 범위

즉 -x≥0 인 범위에서만 정의되어야한다.

따라서 정의역은 x≤0

 

2. 시작점을 찾는다.

정의역이 x≤0 이므로,

정의역의 경계지점은 x=0 이다.

x=0 대입해주면 f(0) = 0 이고

따라서 시작점은 (0, 0) 이며,

정의역이 x≤0 이므로, 왼쪽으로 출발한다.

 

3. 증가, 감소 여부를 파악한다.

x가 작아지면, 루트 안의 값은 커지고

따라서 루트의 계산값도 커진다.

하지만 루트에 마이너스가 붙은게 함수 식이니까

결론적으로는 x가 작아지면 f(x)도 따라서 작아진다.

따라서, x가 감소하면 f(x)도 감소한다.

 

이를 전부 합쳐서 그리면, 답은

여기서 중요한건,

시작점인 (0, 0)을 정확히 찍었는가?

시작점을 기준으로 왼쪽 아래로 가게 그렸는가?

점근선 없이 계속 내려가게 그렸는가?

원점에서 멀어질수록 기울기는 완만해지게 그렸는가?

위의 4개를 전부 만족한다면 정답이다.

 

 

아니면, 함수 자체를 해석해도 된다.

f(x)는 y=√(x) 를 원점대칭한거니까

y=√(x) 의 그래프를 머리로 그려본다음, 그걸 그대로 원점대칭하면 된다.

 

 

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- 무리함수의 평행이동 -

우선 무리함수의 기본적인 형태는 아래와 같다.

a는 그냥 상수이며, x나 루트 밖에 붙는 상수는

그냥 평행이동의 결과일 뿐이므로,

f(x)의 그래프에서 모양이 변하지 않는다는게 핵심이다.

따라서, 우리는 저 f(x)의 그래프만 그릴줄 알면

나머지는 그냥 평행이동이나 대칭이동으로 만들어지는것이다.

 

근데 이건, 따로 다루는게 민망할정도로 너무 쉽다. 직접 해보자.

 

 

무리함수 그래프그리기

1. 정의역을 찾는다.

정의역은 x≥0

2. 시작점을 찾는다.

시작점 = 정의역의 경계지점

따라서 시작점은 (0, 0) 이며

시작점에서 오른쪽으로 출발한다.

3. 증가, 감소 여부 판단

x값이 증가하면, y값도 증가한다.

따라서, x값이 증가함에 따라 y값도 증가하도록 그린다.

추가로, 루트 안의것이 x가 아니라 3x이므로,

우리가 아까 그렸던 y = √(x) 보다는

y = √(3x) 가 빨리 증가할것이니 그정도는 감안해서 그리자.

이게 y = √(3x) 의 그래프고, 이걸 평행이동시킨게 답이다.

평행이동은 어떻게 시키느냐?

내가 그래프그릴때마다 강조한게 있다.

'시작점'을 찾아서 그걸 기준으로 그리라는 것이다.

평행이동됐으니, 시작점도 평행이동 됐을거고

평행이동은 그래프의 모양엔 아무 영향을 주지 못하니

그냥 '시작점'의 위치만 바꿔서 똑같이 그려주면 되는거다.

문제에서 준건 x방향 1, y방향 -2 평행이동이므로

 

최종적인 답은

시작점 똑바로 찍었고,

시작점을 기준으로 오른쪽 위로 완만하게 증가하도록 그렸고,

계속 증가하되, 기울기 자체는 조금씩 줄어들도록 그렸으면 정답이며,

x절편까지 표시했다면 아주 완벽하다.

 

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- 평행이동의 일반화 -

왜 평행이동이 저렇게되나요 라고 물으면 나는 할말이 없다.

평행이동은 엄연히 수학(상)의 내용이며,

이해가 안된다면 거기부터 공부하고 오는게 맞다.

그럼에도 평행이동을 또 다루는 이유는,

무리함수에 평행이동이 끼어들 여지가 많으니,

평행이동까지 고려하여야 한다. 라는 뜻이다.

 

 

 

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- 예제 -

1 )

쎈 고등수학(하) 2021년 / 804번 문제

 

답은 4번이다.

 

저 함수의 그래프만 그리면 전부 해결될 문제이다.

그래프를 그리는 과정에서 정의역도 구해질거고

치역도 구해질거고, 지나는 점이나 지나는 사분면 등등 다 구해질것이다.

 

1. 정의역 찾기

이 함수는 루트 안의 것인 6-2x가 음수가 되지 않는 범위에서

정의되어야 하므로,  6-2x≥0 이고

정리하면, 정의역은 { x | x≤3 }

따라서 ①(x)

 

2. 시작점 찾기

시작점은 정의역의 경계지점이므로,

일단 x=3 이고, y값 찾기위해 x=3 대입해주면

시작점은 (3, -1) 이며,

(3, -1) 을 기준으로 왼쪽으로 출발하는 그래프가 그려져야한다.

따라서 ③(x)

 

3. 증가, 감소 판단

x값이 작아지면 루트 안의것의 값은 커지므로

결론적으로, x값이 작아지면 y값은 커진다.

따라서, 그래프는 시작점 (3, -1)을 기준으로

왼쪽 위로 출발해야한다.

따라서, 이 함수의 치역은 { y | y≥-1 } 이다.

따라서 ②(x)

 

이제 추가적으로 4번과 5번 선지가 맞는지 판단해보자.

일단 답은 4번이니까 5번선지가 틀렸다는것부터 보겠다.

 

5번 선지는, 그래프의 개형을 보고 판단해야한다.

일단 시작점은 4사분면에 있고,

시작점을 기준으로 왼쪽 위로 가는 그래프이므로

3사분면은 지날지 안지날지 모르겠다.

3사분면을 지나는지 판단하려면

x=0 에서의 함숫값이 어떻냐를 판단해봐야한다.

x=0 대입하면 y>0 이므로

이 함수의 그래프는 x=0 에서 y>0 인 곳을 지나므로

3사분면을 지나는건 불가능하다.

따라서 ⑤(x)

 

마지막으로 4번은 식조작 조금만 해보면 평행이동임을 알수있다.

따라서 이 함수는

그냥 y = √(-2x) 를 x방향 3, y방향 -1만큼

평행이동한 함수이다.

따라서 ④(o)

 

따라서 답은 4번

 

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2 )

 

무리함수에 대한 총체적인 이해를 묻는 문제이다.

솔직히 쉬운 문제는 아니다.

 

 

ㄱ )

b<0 즉 b가 음수라면,

루트 안의 식은 x가 커질수록 작아진다.

따라서, x가 커질수록 루트의 계산값은 작아진다.

만약 a가 양수라면, 함수식 전체의 계산값도 작아질것이고,

a가 음수라면, 함수식 전체의 계산값은 커질것이다.

그래프에 따르면, x가 커질수록 함숫값은 작아진다.

따라서, x가 커짐에 따라 f(x)가 작아지게 하는 조건은,

b가 음수라면 a도 음수여야한다.

따라서 ㄱ(o)

 

 

ㄴ )

f(-3)과 d의 관계를 묻는 문제이다.

한번 대입해보자.

미지수가 너무 많아서 알수가 없다.

미지수를 줄이기 위해, 문제에서 준 조건을 써먹어야한다.

아직 안 쓴것은, 정의역이 x≤1 이라는것과

f(0)=0 이라는것

우선 정의역이 x≤1 이라는건,

x=1 일때가 바로 이 함수의 그래프의 시작점 이었다는것

따라서, x=1 일때 루트 안의 것의 값이 딱 0이 되어야한다.

따라서, b+c = 0 이고, b=-c 이다.

이걸 이용하면 미지수를 하나 줄일 수 있다.

이제 f(0)=0 이라는 조건까지 써주면 미지수를 더 줄일수 있을것이다.

 

x=0 대입하면

이걸 또 대입해주면, 이제 이 선지가 맞는지 확실히 판단할 수 있다.

따라서 ㄴ(o)

 

 

ㄷ )

일단 여기서 c, d는 그냥 평행이동의 결과물이니 깔끔하게 무시해주자.

a를 루트 안에 넣어주면, ㄷ 선지와 같은 모양의 식을 만들어낼 수 있다.

ㄷ 선지의 식에서, 루트 안의 -1은 그냥 평행이동이니 이것도 무시해주면

최종적으로 ㄷ은 맞는 선지라는 것을 알 수 있다.

따라서 ㄷ(o)

 

 

따라서 답은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

 

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3 )

 

두 함수의 그래프가 만난다는건, 교점이 있다는것이고,

교점이 생겼다는건, 함숫값이 같아지는 지점이 있다는것 이다.

얘의 실근이 존재할 k값 조건만 써주면 되는거다.

일단 루트가 꼴보기 싫으니 양변을 제곱해주자.

양변을 제곱해도, 근의 여부엔 영향을 주지 않는다.

x에 대한 이차방정식이 되었으며,

이것의 실근이 존재할 조건을 판별식으로 써주면,

k에 대한 조건 식이 나올거고, 계산만 하면 끝이다.

이를 만족하는 자연수 k는 1, 2, 3, 4 뿐이며,

전부 더하라 했으니, 1+2+3+4=10

따라서 답은 10