- 개요 -
내용도 어렵고 문제도 어렵다.
내용의 어려움과 난해함은
고3수학의 미적분도 한 수 접고 들어간다.
어느 정도냐면, 현재 수능 킬러주제로 합성함수가 자주 출제되는데,
합성함수가 고1 내용인데, 고3들이 풀기 어려워하기 때문이다.
그럼에도 불구하고, 감을 잡는다면 딱히 아주 대단한건 또 없는곳이다.
- 합성함수가 무엇인가? -
일단, 함수의 정의부터 복습해보자.
두 집합의 대응관계 중에서,
X의 원소 하나가 Y의 원소 하나씩과만 짝을 만든다면,
그걸 X에서 Y로의 함수라 했었다.
즉, 함수를 하나 정의하려면 집합이 두개 필요하다.
두 집합의 관계를 설명하는게 함수이기 때문이다.
합성함수를 정의하려면 무려 3개의 집합이 필요하다.
세 집합 X, Y, Z가 있다고 해보자.
원소는 그냥 아무거나 넣었으니 신경쓰지 않아도 된다.
또 아무렇게나 X에서 Y로의 함수관계,
Y에서 Z로의 함수관계를 표시해보겠다.
표시 완료
X에서 Y로의 대응관계는 '함수' 이고
Y에서 Z로의 대응관계 또한 '함수' 이다.
이 함수들의 이름을 각각 f, g 라고 짓겠다.
그러니까, 집합 X의 원소중 하나를 골라서 보면,
짜여진 함수 f에 맞게, 그에 대응되는 집합 Y의 원소중 하나가 나올거고,
집합 Y의 원소중 하나를 골라서 보면,
짜여진 함수 g에 맞게, 그에 대응되는 집합 Z의 원소중 하나가 나올거다.
이를 모두 표시하면 이렇게된다.
X의 원소 1을 보면, Y의 원소 a가 자동적으로 나오며
그 Y의 원소 a를 보면 또 Z의 원소 6이 자동적으로 나온다.
따라서, 두 단계를 거치면, X에서 Z로 갈 수 있다.
X의 원소 1을 보면, Z의 원소 6을 찾을 수 있는것이다.
이처럼, 분명 X와 Z는 특별한 관계가 있긴 하고, 이를 설명하고싶은데,
X와 Y 사이의 관계, Y와 Z 사이의 관계만 알지,
X와 Z 사이의 관계는 정확히 모른다.
그래서 생각해보기를,
" 집합 X에서 집합 Z로의 대응을 표현할 방법이 없을까? "
있다. 그게 바로 합성함수이다.
- X에서 Z로 대응시키는법 -
요약하자면, g라는 함수에 f를 넣으면 된다.
정말 그런지, X의 원소인 1, 2, 3 에 각각 대입해서 확인해보자.
정말로 X에서 Z로 갈수 있음을 볼 수 있다.
이처럼,
두 함수 f : X→Y, g : Y→Z 가 주어질 때,
집합 X의 각 원소 x에 집합 Z의 원소 z를 대응시키는
함수를 f와 g의 합성함수라 하며,
기호로는 아래와 같이 표현한다.
만약 위의 예시에서 g(f(1)) 을 구하라 하면,
f(1) = a 이고
g(a) = 6 이니
g(f(1)) = 6 이다.
- 합성함수의 작성 -
문제 뜻 해석 : x에 대한 두 함수 f, g가 저렇게 있다.
g 에다가 f 를 합성하시오.
g 에다가 f 를 합성하라는건,
g(x) 라는 함수에서, x자리에 f를 넣으라는것
즉 g(f) 를 쓰라는거고
문제에서 주문한건 x에 대한 합성함수니까
g(f) 를 x에 대한 식으로 나타내면 된다.
그럼 그냥 대입해서 정리하면 끝
따라서 답은 4x²-4x+1
- 연습 -
첫번째 합성함수 작성
해석 : f에 g를 합성한 뒤, x에 관한 식으로 쓰시오.
따라서 첫번째 합성함수는 2x²-1
두번째 합성함수 작성
해석 : f에 f를 합성한 뒤, x에 관한 식으로 쓰시오.
따라서 두번째 합성함수는 4x-3
그런데, 질문이 있을 수 있다.
f에 f를 합성하는게 수학적으로 무슨 의미가 있는가?
사실 특별한건 없고, 그냥 함수를 두개 합성할건데
자기자신을 합성하는것 뿐이다.
- 합성함수 분석의 핵심 : 겉함수가 본체이다 -
말 그대로이다.
합성함수는 함수 몇개가 어떻게 합성되었는지에 상관없이
결국 마지막 겉함수가 본체이다.
이딴식으로 막 합성해도,
합성함수도 함수이기때문에
어차피 가장 마지막에 나오는 함수
즉 '겉함수'가 본체이다.
f 라는 함수에다가 어떤 함수를 합성하든
결국 최종적인 결과 함수는 f 이다.
합성함수를 분석하는 꿀팁이며,
앞으로의 설명에 계속 쓰이니 꼭 알아두자.
- 합성함수의 성질 -
1. 함수의 합성은 교환법칙이 성립하지 않는다.
+, -, × 등 여러 연산자들은 다 교환법칙이 성립했는데
저 함수의 합성 연산은 교환법칙이 성립하지 않는다.
왜냐면, 좌변의 결과는 함수 g이지만
우변의 결과는 함수 f이다.
애초에 g와 f는 다른 함수이기 때문에, 교환법칙이 성립할수가 없는거다.
위의 문제에서 바로 그 예시가 나온다.
f(x) = 2x-1, g(x) = x² 일때,
g(f(x))와 f(g(x))는, f와 g를 합성한다는건 똑같았지만
결과적으로는 완전히 다른 함수였다.
근데 항상 성립 안하는건 아니다.
함수 f와 g가 아주 특별한 관계가 있다면 '우연히' 같을수도 있다.
'일반적으로는' 교환법칙이 성립하지 않는다는 뜻이다.
2. 함수의 합성은 결합법칙이 성립한다.
즉, 세 함수의 합성 순서만 지키면, 어떤 두개를 먼저 합성하든 상관없다.
왜냐면, 어차피 합성함수의 주인공은 '겉함수' 이기 때문이다.
둘다 겉함수 f이고, 합성하는 순서가 f g h 로 똑같으니
결과적으로는 똑같은 함수가 되는것이다.
좌변과 우변을 각각 써보면 바로 증명완료된다.
결합법칙이 성립하기때문에, 위의 식에서 괄호를 생략하기도 한다.
3. 항등함수와 합성하면 자기자신이 나온다.
이것도 당연한게, x에 대한 항등함수라는건
x 대입하면 함숫값으로 그대로 x로 나온다는것
따라서 항등함수는 합성 하든안하든 결과는 똑같다.
그런데, 이런 당연한것들을 왜 배우는가?
문제를 풀 때, 논리적으로 엄밀하게 풀기 위해서 배우는것이다.
그리고 당연한데도 알려준다는건, '문제를 푸는 재료'로 쓰인다는 뜻이므로
꼭 알고있자.
- 예제 -
1 )
일단 두번째 조건을 이용하면 a값을 바로 구할 수 있다.
f(2) = 2+a = 3, 따라서 a=1
따라서 f(x) = x+1
이제 (f∘g)(x) 를 구하자.
따라서, bx+c+1 = 4x-2 이고
따라서 b=4, c=-3 이다.
따라서 abc = 1×4×-3 = -12
따라서 답은 -12
2 )
f를 98번 합성한 뒤, x=3 을 대입하면 함숫값은 무엇인가?
를 묻는 문제이다.
당연히 98번 합성하는 노동을 하라는 문제는 아니고,
규칙을 찾으라는 문제이다.
무슨 말이냐면, f를 몇번 합성해보겠다.
규칙을 찾았다.
합성을 3번 할때마다 같은 함수가 반복된다.
근데 우리가 원하는건 98번 합성해서 만든 f^99(x) 이다.
합성을 3번 할때마다 같은 함수가 반복되므로,
f^99(x) = f^3(x) 이다.
이제 x=3만 대입해주면,
최종적인 답은 3
3 )
따라서 답은 x²+2
4 )
어려운 문제이다.
이건 저 합성함수를 작성하라는 문제가 아니다.
f(x)가 이차함수이므로, f(f(f(x)))는 8차함수인데
이 함수를 진짜 직접 구할건가?
상당히 비상식적이다. 출제의도는 그게 아니다.
'합성함수의 특성'을 이용해서 풀라는거다.
이전 문제들은 함수가 너무 쉽게 제시되어서
합성함수 자체를 구하는게 너무 간단했기때문에 그렇게 푼거고,
고난이도 문제들은 합성함수를 작성할수 없게 출제한다.
기본적으로 합성함수를 작성할수 있게 주면 문제가 너무 쉽기때문이다.
어쨌든, 합성함수의 주인공은 겉함수이니
이걸 이용할것이다.
이건 결국 주인공이 함수 f이므로,
f = 0 이 되도록 하는 x값을 찾으면 되는거다.
근데 f 안에 들어있는게 x가 아니라 f(f(x)) 이므로
이거 자체를 그냥 치환해버리자.
난 α 라고 치환하겠다. α = f(f(x)) 이다.
즉, 우선 우리가 찾을건 저걸 만족할 α값이다.
따라서, α=0, α=1 일때 f = 0 이 된다.
일단 α값은 찾았는데, 우리가 찾는건 α가 아니라 x이다.
α값이 의미하는게 뭐였는가? f(f(x))였다.
따라서, 아래와 같은 결론을 얻는다.
근데 문제는, 이래도 합성함수 f(f(x))가 남는다.
따라서, 이 과정을 한번 더 해야한다.
이것도 어차피 주인공은 f 이니
안의 것을 치환해버리자. 이번엔 β라 하겠다.
β = f(x) 이다.
첫번째, f(β) = 0 를 만족할 β값 찾기
아까 구했듯이 β=0, β=1 이다.
따라서, 이때의 실근은
f(x)=0 일때와
f(x)=1 일때 이다.
f(x)는 이차함수니 이제 이차방정식의 실근 구해주면 된다.
두번째, f(β) = 1 을 만족할 β값 찾기
아까 구했듯이
따라서, 우리가 구할 실근은
이것의 실근이다.
이제 구해진 실근들을 전부 더해주면 끝
따라서 답은 3
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