함수 #8 - 함수의 대칭성

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- 개요 -

합성함수와 역함수라는 산을 넘었지만,

산넘어 산이고, 여기도 아주 어렵다.

함수를 포함해서, 여태 공부한 수학지식을 총동원해야한다.

알고있던 개념을 심화해서, 문제풀이에 적용하는 방법을 배운다.

보통은 '이건 전에 배웠던거니 넘어갑니다' 했지만,

'혼자 공부하는 학생이 이정도까지의 수준으로는 스스로 생각해낼 수 없다'

라고 개인적으로 생각하기 때문에

이렇게 심화내용을 따로 다루는것이다.

 

이번에 다룰 주제는 '함수의 대칭성' 이다.

 

 

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- 함수의 대칭성 -

우선, 점과 도형의 대칭이동 복습부터 하자.

요약 :

x축에 대한 대칭이동은, y좌표의 부호만 바뀐다.

 y축에 대한 대칭이동은, x좌표의 부호만 바뀐다.

원점에 대한 대칭이동은, x와 y 둘다 부호가 바뀐다.

y=x 에 대한 대칭이동은, x와 y의 좌표를 바꾼다.

대칭이동되기 전과 후의 점의 평균지점이 대칭이동의 기준점이다.

대칭이동의 기준점은 대칭이동의 기준선 위에 있다.

왜 그렇게되나요 라고 물으면, 그건 내 잘못은 아닌거같고

수학(상)의 '점과 도형의 대칭이동' 을 공부하고 오자.

 

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여기서 다룰건 맨 위의 3가지이다. 한 줄씩 파고들어가보겠다.

 

x축에 대한 대칭이동은, y좌표의 부호만 바뀐다.

이건 다음에 '절댓값이 포함된 함수의 그래프' 를 그릴 때 유용하게 쓰이니 알아두자.

 

 

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y축에 대한 대칭이동은, x좌표의 부호만 바뀐다.

이건 짚고 넘어갈 부분이 있다.

대칭이동 전후 y좌표는 변하지 않는다.

a는 x좌표니까, a대신 x넣고

b는 y좌표니까, b대신 f(x)넣어서 다시쓰면

(x, f(x))는 y=f(x) 위의 점이긴한데,

(-x, f(x))는 y=f(x) 위의 점이 아니다.

 굳이 x좌표를 -x 로 놓고싶다면,

(-x, f(-x)) 는 y=f(x) 위의 점일것이다.

근데 저건 y=f(x) 위의 점이 아니라서 의미가 없어보이는데,

이 짓을 왜 하고있는가?

만약 저게 함수의 특성상 우연히 y=f(x) 위에 있게된다면,

그니까, f(x) = f(-x) 라서,

(-x,f(x))나 (-x,f(-x))나 똑같은 점이고

따라서 (-x, f(x)) 가 y=f(x) 위의 점이라면?

이건 좀 특별하지 않을까?

이짓거리를 왜하고있는지, 이어서 가보겠다.

따라서, 이런 결론을 얻는다.

 

매우 중요하니 꼭 알아두자.

좀 어려우니, 논리를 다시 설명해주겠다.

 

그래서 이런걸 어디다 써먹느냐? 써먹을 곳이 많다.

f(x) = f(-x) 인 함수를 '우함수' 또는 '짝함수' 라 한다.

이름까지 붙었다는건 상당히 특별한 상황이라는 뜻이다.

간단한 예시로, 꼭짓점이 y축에 있는 이차함수가 있다.

이 함수의 꼭짓점은 (0, 1) 이며,

이차함수의 특성상 x=0(y축) 을 기준으로 대칭이다.

증명은 아까 배운걸 이용하면 간단하다.

따라서, 이때 y=f(x) 의 그래프는 y축을 기준으로 대칭이다.

 

 

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원점에 대한 대칭이동은, x와 y 둘다 부호가 바뀐다.

이것도 아까처럼 하면, 중요한 결론을 얻어낼 수 있다.

이것도 우리가 원하는건 똑같다.

저 점이 y=f(x) 위에 있도록 하고 싶다는것

그러려면, -f(x) = f(-x) 이면 된다.

다시 정리하면,

f(x) = -f(-x) 인 함수를 '기함수' 또는 '홀함수' 라 한다.

이름까지 붙었다는건 상당히 특별한 상황이라는 뜻이다.

간단한 예시로, 원점을 지나는 일차함수가 있다.

일차함수의 특성상, 이 직선 위의 어느 점을 찍어도

그 점을 기준으로 대칭이다.

증명은 아까 배운걸 이용하면 간단하다.

따라서, 이때 y=f(x) 의 그래프는 원점을 기준으로 대칭이다.

 

 

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- 대칭성 심화 -

- 1 -

증명법 : 두 점의 중점이 대칭의 기준점이다.

아니면, 이렇게 이해해도 된다.

 

 

- 2 -

증명은 아까와 똑같이 하면 되므로 생략

 

 

 

- 3 -

증명법 : 두 점의 중점이 대칭의 기준점이다.

 

 

- 4 -

아까와 똑같은 의미이며, 표현방법만 약간 다른것이다.

똑같은 방법으로 증명하면 어렵지 않게 증명할 수 있다.

 

 

 

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- 예제 -

1 )

 

(가) 조건에 의해, y=f(x)의 그래프는 y축 대칭이다.

다르게 말하면, f(x)는 우함수이다.

그리고, f(x)는 이차함수기때문에 꼭짓점을 기준으로 좌우 대칭이다.

따라서, f(x)의 꼭짓점의 x좌표는 0이다.

그러면 꼭짓점의 x좌표가 0인 이차함수를 작성할 수 있다.

a랑 k는 아직 계수를 모르니 일단 미지수로 둔것이다.

정리해서 다시쓰면,

 

 이제 (나)조건으로 넘어간다.

이차함수가 최댓값을 갖는다는건, 최고차항의 계수가 음수였다는 뜻

따라서 a<0 이며, 꼭짓점이 최대지점이므로 f(0)=7 이다.

따라서 k=7 이다.

이걸 토대로 f(x)를 다시쓰면

이제 a값만 알아내면 되는데, 아직 쓰지않은 문제 조건이 있다.

f(1) = 6 이므로, a+7 = 6 이다.

따라서 a = -1 이다.

이제 f(x)를 완벽히 알아냈으니, 대입해서 계산만 하면 끝

따라서 답은 3

 

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2 )

 

이 문장의 해석이 이 문제의 핵심이다.

이 문장을 해석하면,

이거랑, f(x)의 최고차항의 계수가 1인것을 감안해주면

f(x)의 개형을 대략 알아낼 수 있다.

이 둘중 하나가 f(x)의 개형이다.

이 중 말이 안 되는 것을 걸러내면 된다.

아직 쓰지 않은 조건이 있다.

f(0) = 0 이라는 조건이다.

f(0)=0 이 되려면 가능한건

f(x)가 이렇게 생긴 경우 뿐이다.

따라서, f(x)의 그래프를 다 그릴 수 있다.

y=f(x) 의 그래프는 (3, 0)을 기준으로 점대칭이므로,

x=0 이 근이라면 x=6 또한 근이다.

따라서, f(x)=0 의 세 실근은 0, 3, 6 이다.

이거랑 f(x) 최고차항계수 1이라는걸 합치면

f(x)를 작성할 수 있다.

이제 f(1)을 구하기 위해 대입만 해주면 끝

따라서 답은 10