함수 #10 - 역함수의 그래프

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- 개요 -

말 그대로 '역함수의 그래프'를 그리고 해석하는 방법을 배울것이다.

함수는 이게 마지막이다.

이건 수능 수험생들도 잘 못하는거라 아마 한번에 이해하기는 어려울것이다.

 

 

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- 역함수 간단복습 -

여기를 어려워하는건 대부분 역함수 개념이 부족한거고

처음 공부하는사람은 자가진단이 잘 안될테니 그냥 복습을 도와주겠다.

 

 

1. 역함수의 함숫값은 'x값'이며, '함숫값의 출처'이다.

 

 

2. 역함수가 존재하려면 '일대일대응' 이어야한다.

 

 

3. 역함수의 작성법 : x와 y의 자리를 바꾼다.

왜냐면, y=f(x)이면 f^-1(y)=x 이기때문이다.

따라서 x와 y의 자리만 바꿔서 정리하면 역함수가 된다.

 

 

 

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- 역함수의 그래프 -

y = f(x)의 그래프가 이렇게 생겼다 하고,

이것의 역함수의 그래프를 그려보자.

 

 

첫 번째 방법 : x와 y를 바꾼다.

역함수의 정의를 이용하는거다.

역함수 : Y에서 X로의 함수

역함수의 작성법 : x와 y의 자리를 바꾼다.

따라서,

이 그래프에서 x와 y의 자리만 바꿔주면 역함수의 그래프가 된다.

x와 y의 자리를 바꾸는 간단한 방법은,

x축과 y축을 서로 바꾸는거다.

이게 바로 역함수의 그래프이다.

다만 이건 우리에게 익숙한 모양이 아니기 때문에

다른 방법도 알아볼것이다.

 

 

두 번째 방법 : 역함수의 그래프의 특징을 이용한다.

특징을 이용하려면 당연히 특징이 뭔지부터 알아야한다.

이건 어디서 나오는거냐면,

이게 역함수의 그래프이긴 한데, 아까도 말했지만 익숙한 모양이 아니다.

우리에게 익숙한건 오른쪽이 +x, 위쪽이 +y 방향인 그래프이다.

x축과 y축을 서로 바꾸는게 목적이니까,

'x축과 y축을 바꾼다는것'의 수학적 표현을 알아볼것이다.

x축과 y축을 바꾼다는건,

저 xy좌표평면 자체를 180˚ 돌린다는 뜻이다.

그럼 돌리는 기준선이 있을거고,

그 기준선은 정확히 x축과 y축의 정중앙에 있어야한다.

그래야만 그 선을 기준으로 돌렸을 때

x축 자리에 y축이 오고, y축 자리에 x축이 오게 될 것이다.

 

이제 기준선이 어디인가 만 정확히 표현할 수 있으면 된다.

x축과 y축의 중앙이므로, 기준선은 x좌표와 y좌표가 같아야한다.

따라서, 기준선은 직선 y=x 이다.

따라서, 역함수의 그래프를 그리려면

원래 함수를 y=x 기준으로 180˚ 돌리면 된다.

우리가 배운 표현을 이용하자면,

y=x 를 기준으로 대칭이동한다.

이걸 토대로 역함수를 그려보면,

그냥 대칭이동시키면 된다. 초록선이 역함수의 그래프이다.

저 초록선을 정확히 그리는 방법이 궁금할수 있는데

아쉽게도 '역함수 자체를 작성'하는것 이외엔 없다.

그래서 보통 역함수의 그래프가 등장하는 문제는

그래프의 적당한 생김새정도만 볼 수 있으면 된다.

 

 

여기까지 결론내보면, 역함수의 그래프의 특성은

이것에 대한 증명도 가능하다. 증명을 보여주겠다.

 

 

 

 

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- 예제 -

1 )

 

1 )

역함수의 함숫값 = '출처가 되는 x값'

따라서, f(x)=b 가 되도록 하는 x값을 찾는 문제이다.

f(c)=b 이므로, 답은 c

 

2 )

저 방정식의 실근이라는건,

역함수와 y=x의 교점이 어디냐는거다.

그림을 참고하면, x=e 에서 교점이 생긴다는 것을 알 수 있고

따라서 실근은 e,  답은 e 이다.

 

3 )

역함수의 역함수는 원래함수이다.

따라서 답은 c

 

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2 )

 

첫번째 풀이 : 역함수 작성

이 함수는 아주 간단한 함수라서, 역함수를 작성하는데 무리가 없다.

역함수를 작성하려면, x와 y의 자리를 바꾼 뒤 정리한다.

원래함수와 역함수가 둘다 일차함수니

교점의 좌표를 찾기 위해 둘의 함숫값이 같다고 놓으면

일차방정식이 될거고, 일차방정식을 풀어주면 된다.

a=3, b=3 이므로 a+b=6 이다.

따라서 답은 6

 

 

두번째 풀이 : 직선과 역함수의 특성을 이용한 논리적인 풀이

원래함수와 역함수의 그래프는 y=x 를 기준으로 대칭이다.

따라서 a+b = 3+3 = 6 이고

답은 6

 

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3 )

 

(가)조건부터 해석해보자.

f와 g를 합성하면 항등함수이므로, 이런 결론을 얻는다.

'f(x)와 g(x)는 x>0에서 역함수관계이다'

주의할건, f(x)와 g(x) 전체가 역함수관계라는게 아니라,

x>0 에서만 역함수관계라는 뜻이다.

그래서, g(x)가 x<0 에서 어떻게 정의되는지는 알 수 없다.

 

다음으로 (나)조건

이 조건을 있는 그대로 해석해보면,

f(5) = g(5) = 5 이다.

f(x)=ax² 이니, 대입해주면 a값을 알아낼 수 있다.

추가로, 이 문제상황에 맞는 그래프를 그려보면 이렇게 될것이다.

a값을 구했으니 이제 마무리계산만 하면 된다.

g와 f는 x>0 에서 역함수 관계이다.

따라서, g(2)의 값은

f(x)=2 가 되도록 하는 x값이다.

따라서 답은 10