- 개요 -
수학(하) 통틀어서 가장 어려운게 역함수다.
내용도 어렵고 문제도 어렵다.
어느 정도냐면, 현재 수능 킬러주제로 역함수가 자주 출제된다.
역함수가 고1 내용인데, 고3들이 풀기 어려워하기 때문이다.
- 역함수를 다루기 전에 -
우선, 역함수는 항상 존재하는 함수는 아니며,
정의 자체가 여러가지로 복잡하기 때문에
역함수를 다루기 전에 선행되어야할 몇가지 지식이 있다.
일대일함수, 일대일대응 이다.
- 일대일함수 -
함수 f 가 있다고 해보자.
이 함수 f 에 대하여,
뭔소린가 싶을텐데, 쉽게 말하면
한 번 나온 함숫값은 다시 나오지 않는다.
예를 들어, f(1) = 3 이면,
f(x) = 3 을 만족하는 x값은 x=1 로 하나뿐이다.
3 이라는 함숫값은 다시 나오지 않기때문이다.
이런 특별한 조건을 만족하는 함수를 일대일함수라 한다.
일대일함수의 간단한 예시로, f(x) = x+1 이 있다.
f(x)는 일차함수이기 때문에, 계속 증가만 하는 함수이고
따라서, 한번 나온 함숫값은 다시 나오지 않는다.
즉, 함숫값 f(x)가 같다면, x값도 같다.
따라서 함숫값과 x값이 1:1 로 연결된다.
그래서 이것의 이름이 일대일함수인 것이다.
- 일대일함수임을 확인하는 방법 -
이걸 만족하는지,
즉 이 명제가 참인지를 보면 되는데,
이 명제의 참 거짓 판단은
이 명제의 대우의 참 거짓을 판단하는게 더 쉽다.
이 명제의 대우는
조건과 결론을 둘다 부정하고 자리를 바꾸면 된다.
이걸 정확히 어떻게 쓰는지 직접 보여주겠다.
임의의 = 아무거나
따라서, f(x) = 1/x 는 일대일함수이다.
f(x)의 그래프를 그려보면 이해가 될것이다.
함숫값이 같으려면 x값이 같은 수밖에 없다.
혹시 'f(x)의 그래프가 왜 저렇게되는지 모르겠어요' 하고 물어본다면
그건 내 잘못은 아닌거같고, 이걸 그릴줄 모르면 유리함수부터 다시 공부하고오자.
- 일대일함수의 그래프 -
일대일함수는, 그래프를 그려보면 그 특징이 두드러진다.
일대일함수의 쉬운 예시로, 일차함수 f(x)=x+1 을 가져오겠다.
이 함수의 그래프는, 이렇게 그려질것이다.
일대일함수이므로, 함숫값이 같으면 x값도 같아야한다.
즉, 함숫값이 3이 되도록 하는 x값은 하나밖에 없다.
일반화시키자면, 치역 Y의 원소 k에 대하여
f(x)=k 를 만족시키는 x값은 하나 뿐이다.
그래프로 나타내자면 이렇게 된다.
함숫값이 k가 되도록 하는 x값은 하나밖에 없다.
'일대일함수' 이기 때문이다.
- 일대일대응 -
일대일함수 인데,
공역과 치역 또한 같다면
이런 함수를 일대일대응이라 한다.
아까 예시로 들었던 이 함수는
공역도 실수전체, 치역도 실수전체 이므로
이 함수는 일대일대응이다.
그럼, 일대일함수이지면 일대일대응은 아닌 함수가 있을까?
물론 있다.
일단 이 함수는 분명히 일대일함수이지만,
공역은 실수전체, 치역은 y≥0 이므로
이 함수는 일대일대응은 아니다.
근데 여기서 이런 의문이 있을 수 있다.
'저 함수의 공역이 실수전체라는건 누가 정한것인가?'
내 맘이고, 문제 출제자 맘이다.
그래서 문제에서는 공역이 무엇인지 정확히 명시하고있으며,
특별히 명시하지 않았다면, 공역과 치역이 같다고 보면 된다.
- 중간점검 예제 -
1. 일대일함수
답은 ㄱ, ㄹ, ㅁ 이다.
ㄱ )
y=x 는 일차함수이고, 일차함수는 항상 일대일함수이다.
따라서 ㄱ(o)
ㄴ )
y=2 라는건, 함숫값이 항상 2 라는것. 즉 상수함수이다.
이게 일대일함수려면, 함숫값이 2가 되도록 하는 x값은 하나만 존재해야한다.
하지만 그렇지 않다. 모든 x에서 함숫값이 2이다.
따라서 ㄴ(x)
ㄷ )
원래는 일차함수였지만, 절댓값을 씌워놨기 때문에
이젠 일대일함수가 아니다.
그래프를 그려보면 이해가 쉽다.
y = |x| 의 그래프는 이렇게생겼고,
함숫값 하나에 x값 하나가 유일하게 대응되어야 하는데
x값의 절댓값이 같을때마다, 두개씩 대응되는것을 볼 수 있다.
따라서 이건 일대일함수가 아니다.
따라서 ㄷ(x)
ㄹ )
이것도 그래프를 그려보면 이해가 쉽다.
한 번 나온 함숫값은 다시 나오지 않는다.
수식으로도 간단히 증명가능하다.
따라서 ㄹ(o)
ㅁ )
이것도 그래프를 그려보면 판단이 쉽겠지만,
아직 삼차함수를 그리는법은 배우지 않았으니
수식으로 증명해야한다.
이걸 증명한다면, 이 함수는 일대일함수가 되는것이다.
증명 완료. 따라서 이건 일대일함수이다.
따라서 ㅁ(o)
추가로, 이해를 돕기 위해 그래프를 보여주자면
이렇게 생겼다.
2. 일대일대응
답은 ㄱ, ㅁ 이다.
일단 일대일대응이려면 일대일함수여야 하므로
일대일대응의 후보로는
일대일함수인 ㄱ, ㄹ, ㅁ 을 일단 올려놓고
이중에 조건에 맞지 않는것만 걸러내면 된다.
ㄱ과 ㅁ은 치역이 실수 전체이다.
근데 공역도 실수 전체이므로,
ㄱ과 ㅁ은 공역과 치역이 같다.
따라서, ㄱ과 ㅁ은 일대일함수이면서 공역과 치역이 같고
따라서 ㄱ과 ㅁ은 일대일대응이다.
ㄹ은, 공역은 실수전체인데
치역은 y<0 이다.
공역과 치역이 다르므로, ㄹ은 일대일대응이 아니다.
3. 항등함수
답은 ㄱ이다.
함수에 대입한 값이 항상 그대로 함숫값으로 나오는 함수를
항등함수라 한다.
따라서, 답은 ㄱ 하나 뿐이다.
ㄴ은 상수함수지 항등함수가 아니다.
혹시 ㄴ을 골랐다면, 상수함수와 항등함수의 개념을 다시 잡자.
항등함수는 역함수를 설명할 때 상당히 중요한 재료이다.
- 역함수의 정의 : 역함수가 무엇인가? -
우선 X에서 Y로의 함수 중에서 예시를 아무거나 가져오겠다.
이 대응관계에 의하면,
f(1) = 2
f(2) = 3
f(3) = 4
이다.
X에서 Y로의 함수이기 때문에,
X의 원소 x를 보면, Y의 원소 y가 보이게 되어있다.
X의 원소 1을 보면, Y의 원소 2가 보인다.
그런데 여기서, 이렇게 생각해볼 수 있다.
x를 봐서 y가 보인다면,
반대로 y를 봐서 어느 x값에서 왔는지 알아낼 수 있지 않을까?
그니까, x=1 을 보면 y=2 가 나온다면,
반대로 y=2 를 보면 x=1 에서 왔다는걸 알 수 있지 않을까?
라는 물음이다.
그 물음을 해결해줄 함수가 바로 '역함수'이다.
X에서 Y로 가는법은 아는데,
Y에서 X로 가는 방법을 생각해보자는거다.
물론 그냥 새로운 함수를 만들어도 되지만,
X에서 Y로의 함수 를 가지고
Y에서 X로의 함수 를 표현하는 방법 말이다.
그런데 이건 문제가 있다.
Y에서 X로의 함수를 만들고싶어도 이 상태로는 절대 만들 수 없다.
Y의 원소 1은 X의 원소와 짝을 만들지 못했기때문에,
애초에 Y에서 X로의 대응이 아니며,
대응관계가 아니므로 함수일수 없다.
그래서, Y에서 X로 가는 함수를 만들려면
이런 조건이 필요하다.
일대일대응이라는건, 일대일함수면서 공역과 치역이 같다는것
공역과 치역이 같다는건, Y의 원소가 빠짐없이 짝을 만들었다는것
하나라도 짝을 만들지 못하면, 공역과 치역이 달라지게된다.
위에서 예로 든 함수는
공역은 {1, 2, 3, 4} 지만 치역은 {2, 3, 4}이기 때문에
Y에서 X로 가는 함수를 만들 수 없던것이다.
근데 왜 일대일함수여야 하는가?
일대일함수라는건,
함숫값 하나에 x값이 하나씩만 대응되는 함수이다.
즉, y를 보면 x가 나오도록 하고싶다면
x가 y와 하나씩만 짝을 이루는것 뿐만 아니라,
y도 x와 하나씩만 짝을 이뤄야한다.
그러지 않으면,
y값 하나를 두고, 어떤 x값에서 왔는지 알수 없게된다.
바로 예시를 들어주겠다.
f(1)=3, f(2)=3 이라고 해보자.
그럼 y=3 이라는 함숫값은 어떤 x값에서 온건가?
x=1에서 왔나? x=2에서 왔나? 구별할 방법이 없다.
그래서 이때 f는 일대일함수가 아니며,
그래서 일대일함수가 아니면 Y에서 X로의 함수를 만들수 없는것이다.
- 역함수의 제대로된 정의 -
Y에서 X로의 함수를
X에서 Y로의 함수를 이용해 표현한 함수를
역함수 라고 한다.
역함수가 존재하려면, 원래 함수는 일대일대응이어야 한다.
역함수가 존재하는 함수의 예시를 들어주겠다.
일대일대응이면 다 역함수가 존재하기 때문에,
그냥 일대일대응인거 아무거나 가져오겠다.
이때 함수 f는 역함수가 존재하며,
Y에서 X로의 함수를 역함수라 한다.
역함수의 표현은 이렇게한다.
f 위에 -1 거듭제곱이 들어간 모양이다.
물론 실제 f의 -1제곱과는 관련없고 그냥 역함수 표현 기호이고
그렇게 수학자들끼리 약속한거니 그러려니 하자.
f가 X에서 Y로의 함수라면,
f의 역함수는 Y에서 X로의 함수이다.
- 역함수의 함숫값 -
일단, 이 f에 대한 함숫값을 전부 적어보겠다.
f(1)=b, f(2)=c, f(3)=a 이다.
함숫값만 떼어서 다시 보겠다.
f 라는 함수에 1넣으면 b
2넣으면 c, 3넣으면 a가
f에 대한 '함숫값'으로 나온다.
근데, 우리가 역함수를 처음 시작할때 어떤 물음에서 시작했는가?
x=1 을 보면 y=b 가 나온다면,
반대로 y=b 를 보면 x=1 에서 왔다는걸 알 수 있지 않을까?
즉, 함숫값을 알면 x값이 뭐였는지 알 수 있지 않을까?
알 수 있고, 그게 바로 역함수라 했었다.
바꿔 말하면,
y=b 라는 함숫값은 x=1 에서 왔다.
y=c 라는 함숫값은 x=2 에서 왔다.
y=a 라는 함숫값은 x=3 에서 왔다.
따라서, 이때 f의 역함수의 함숫값은
y=a 를 보면, x=3 에서 왔다는걸 알 수 있다.
y=b 를 보면, x=1 에서 왔다는걸 알 수 있다.
y=c 를 보면, x=2 에서 왔다는걸 알 수 있다.
내가 자꾸 '이 함숫값이 어디서 왔는가' 를 논하는데,
이게 역함수의 핵심이다.
역함수의 함숫값의 의미가 바로 '출처' 이다.
이 문장이 의미하는것은,
마지막으로 정말 그런지 확인해보자.
역함수의 값의 정체는 '출처' 인가?
정말 그러함을 알 수 있다.
역함수의 함숫값은 'x값'이며, '함숫값의 출처' 이다.
- 중간점검 예제 -
1 )
역함수가 존재하려면, f(x)가 일대일대응 이어야한다.
그러려면, f(x)는 이차식이면 안된다.
f(x)가 이차식이 되는 순간, 꼭짓점을 제외하면
함숫값 하나에 x값이 두개씩 대응될것이기 때문이다.
따라서, f(x)가 이차식이 되지 않게 하려면
a-2=0 이어야 하고,
따라서 a=2 여야한다.
따라서 답은 2
2 )
일단 f(5) = 2×5 - 3 = 7
그다음, 역함수 f에 5를 대입한 값이 뭐냐고 하는데,
역함수의 함숫값 = 그 값의 출처는 어디인가?
즉, 이 값의 의미는
f 의 함숫값이 5가 되도록 하는 x값은 무엇인가?
이제 마무리계산만 하면 된다.
따라서 답은 3
- 역함수의 성질 -
1. 역함수의 역함수는 원래함수이다.
이건 당연한것이, X에서 Y로의 함수를
Y에서 X로의 함수로 다시 쓴다음
그걸 또 X에서 Y로의 함수로 다시 쓰라는거다.
그럼 당연히 원상복구니 원래함수인 f가 나온다.
2. 역함수와 원래함수의 합성함수는 항등함수이다.
문장에 함수 라는 단어만 네번나오고 식도 난리가 났는데,
파고들어가보면 생각보다 간단하고 당연하다.
참고로, Ⅰ는 항등함수이다. Ⅰ(x) = x 인 것이다.
이 식부터 증명해보겠다.
따라서, 그냥 한바퀴 돌아서 처음에 대입했던 x가 나오게 된다.
따라서 역함수에 원래함수를 합성한건 항등함수이다.
다음으로 이것을 증명하겠다.
이것의 증명은 합성함수의 성질을 이용한다.
- 합성함수의 역함수 -
합성함수의 역함수를 구하는 방법이다.
이것도 합성함수의 성질을 이용해서 증명한다.
증명이 꽤 복잡하지만, 쫄지말고 천천히 하면
누구나 충분히 스스로 해낼 수 있으리라 생각한다.
- 역함수 작성하기 -
역함수가 뭔지도 알았고, 함숫값 구하는법도 알았고,
역함수의 성질도 알았다.
이제 역함수를 작성하기만 할 수 있으면 된다.
이 성질을 이용한다.
f(x) = y 이므로, 대입해주면
따라서, 이런 결론을 얻는다.
역함수를 작성하려면, x와 y의 자리를 바꿔주면 된다.
직접 해보자.
어렵지 않다.
- 문제를 풀기 전에 숙지할 것 -
역함수를 작성하는 방법을 다루긴 했지만,
기본적으로 역함수를 작성해서 푸는건
고난도문제에선 거의 볼수 없다고 할 수 있다.
함수를 제시할 때, 역함수를 작성할 수 있게 너무 간단하게 제시하면
역함수 문제를 출제한 의미가 없어질정도로 너무 쉽기 때문이다.
그러면 역함수를 작성하지 않는데 어떻게 푸느냐?
역함수는 결국 원래함수에서 온것이니
역함수의 성질을 이용해서 풀어내야한다.
예를 들어, f(2)=5 이면, f^-1 (5)의 값은 2 이다.
꼭 역함수를 작성하지 않아도 몇가지는 알아낼 수 있다는뜻이다.
이게 무슨말인지는 문제를 많이 풀어보면 알게된다.
역함수를 도저히 작성할수가 없는 문제가 많다.
예시를 하나 굳이 들어주자면,
함수가 이정도로만 제시되어도 역함수를 작성할수 없을것이다.
함수가 이런식으로 주어졌는데 역함수를 풀라 하면,
이건 역함수를 작성하라는게 아니라,
역함수의 특성을 이용하라는 거구나.
라고 생각하고 접근하라는 뜻이다.
- 예제 -
이 블로그의 다른 함수 글들과 같이
어느정도 난이도가 있는 문제들로 구성했으며,
역함수는 특히 어렵고 중요하기 때문에, 더욱 어려운걸로 구성했다.
1 )
역함수의 함숫값을 물어보는 문제이다.
역함수의 함숫값 = 그 함숫값의 출처
따라서, f(x) = 1/8 이 되는 x값을 찾으라는 문제이다.
따라서, 답은 2
2 )
역함수의 성질 문제이다.
f(5)는 x=5 대입하면 f(5)=14 이고, 이제 오른쪽것을 계산하자.
따라서 오른쪽것의 계산값은 5이고,
최종적으로 계산하면 14-5 = 9
따라서 답은 9
3 )
여러가지를 묻는 문제이지만,
일단 세번째 문장을 해석하지 못하면 문제풀이 진행이 불가능할거다.
세번째 문장의 해석이 이 문제의 핵심이다.
f와 g의 역함수관계를 눈치챘다면, 이 다음부턴 쉽다.
a값을 곧장 알아낼 수 있고,
a=-1 을 대입만 해주면 f(x)를 작성할 수 있다.
근데 문제에서 원하는건 g(x) 이다.
g(x)는 f(x)의 역함수이므로,
따라서 답은, g(x) = -x-1
추가로, f(x)와 g(x)가 완전히 똑같게 나왔는데,
그냥 우연의 일치이다.
이처럼 역함수와 원래함수가 똑같은 경우도 있다.
4 )
f(x)에서, x 자리에 2x-1 이 들어갔다.
따라서, 문제에서 준 f(2x-1) 은 합성함수이다.
따라서, 우리는 합성함수의 역함수를 구해야한다.
따라서 답은
5 )
꽤 어려운 문제 이다.
이정도로 수능에 나오면, 4점짜리 문제일것이다.
(가) 조건부터 풀어보겠다.
일단, 역함수가 존재한다 는게 무슨 말인가?
f(x)가 일대일대응이 된다 라는 말이다.
근데 f(x)는 이차함수라서, 일반적으로는 일대일대응이 될 수 없다.
그래서 이 문제에서는 정의역을 제한해둬서 강제로 일대일대응이 되도록 만든거다.
그냥 이차함수 f(x)라 하면 되지, 굳이 정의역을 제한한 이유를 이 조건에서 알게 되었다.
아무튼 f(x)는 이차함수지만 일대일대응이다.
따라서, f(x)는 범위가 이렇게 잘린것이다.
둘중 f(x)가 어떤것인진 모르겠지만,
아무튼 x=a는 꼭짓점의 왼쪽에 있을 수 없다.
x=a가 꼭짓점의 왼쪽에 있게되는 순간
f(x)의 그래프가 이렇게 되기때문에,
f(x)는 절대로 일대일대응이 될수가 없게된다.
그래서, x=a 는 꼭짓점에 있던가,
꼭짓점보다 오른쪽에 위치해야한다.
그러기 위한 a의 최솟값이 a=2 라고 한다.
따라서, x=2의 위치는 딱 f(x)의 꼭짓점이다.
이차함수의 꼭짓점의 x좌표가 x=2 이므로,
f(x)의 식을 어느정도 작성할 수 있다.
k와 p의 값은 아직 모르니 일단 미지수로 두고 식을 작성한거다.
이제 (나) 조건으로 넘어가자.
x≥2 에서 정의된 이차함수인데 최댓값이 존재한다는건,
f(x)의 최고차항의 계수가 음수였다는 뜻이다.
따라서, 일단 k는 음수이다. k<0
그리고, 꼭짓점이 정의역에 포함된다.
따라서, f(x)는 꼭짓점에서 최댓값을 갖는다.
꼭짓점이 바로 x=2 이므로,
이런 결론을 얻는다.
따라서, p값은 3이다.
이제 k값만 구하면 된다.
미지수가 한개이니 관계식 하나 쓰면 되는데, 아직 쓰지 않은 문제 조건이 있다.
문제의 마지막줄에 나온 조건이다.
일단 a=2 라는건 그냥 x=4에서 함숫값이 존재해야하니까 있는조건이다.
a값은 함수의 정의역의 경계라서, 함수의 값엔 영향을 주지 않는다.
대입해서 계산해보자.
f(x) 추론 완료. 이제 함숫값 단순계산만 하면 된다.
따라서 답은 24
'수학(하) > II. 함수' 카테고리의 다른 글
| 함수 #9 - 절댓값 기호가 포함된 식의 그래프 (0) | 2022.08.03 |
|---|---|
| 함수 #8 - 함수의 대칭성 (0) | 2022.07.24 |
| 함수 #6 - 합성함수 (0) | 2022.07.10 |
| 함수 #5 - 무리함수 (0) | 2022.07.07 |
| 함수 #4 - 유리함수 (0) | 2022.07.04 |
