여기서는 평행판 축전기만 다루며
주로 직류회로와 연계돼서 나온다.
- 축전기 -
capacitor, condenser
전하를 저장할 수 있는 전기 소자이다.
축전기에 충전되는 전하량 Q는
두 극판 사이의 전위차 V에 비례한다.
등식으로 쓰면 다음과 같은 식이 성립한다.
C는 전기용량이다.
- 전기용량 -
말 그대로 전기를 얼마나 많은 용량 담을수 있는지를 나타내는 값이다.
사전적 의미는
축전기의 전압을 1V 높이는 데 필요한 전하량이다.
전기 용량은 두 극판의 넓이와
극판 사이의 유전율에 비례하고,
극판 사이 간격에 반비례한다.
ε : 유전율
A : 두 극판의 넓이
d : 극판 사이 간격
전기용량의 단위는 F(Farad)인데
1F이 축전기한테 너무 큰 수라
µF 으로도 쓴다.
- 유전율 -
극판 사이에 유전체를 넣으면
유전체가 갖는 고유의 값이 있는데
그게 유전율이다.
진공의 유전률은 1이고
나머지는 아무거나 넣어도 1보다 크다.
즉 축전기 사이에 아무거나 집어넣으면 유전율이 1보다 커서
전기용량이 커진다.
ε0_ = 진공의 유전률
κ = 유전 상수. 비저항처럼 유전체가 갖는 고유의 값이라 보면 된다.
진공의 유전상수가 1이므로 κ>1 이다.
따라서 유전상수 κ인 유전체를 끼웠다면
유전율이 κ배가 되므로
전기용량은 κC가 된다.
- 평행판 축전기의 원리 -
우선 저 전지의 전압이 V이고
전지의 위쪽이 (+)극이므로
전지의 아래쪽의 전위를 0이라 하면
전지의 위쪽 전위는 V이다.
도선 내부에서 전위는 일정하므로
축전기 바로 아래에서의 전위는 0
바로 위에서의 전위는 V이고
결국 Q = CV만큼의 전하량이 충전된다.
물론 전지를 연결하는 순간 바로 다 충전되는건 아니고
시간이 지남에 따라 서서히 충전된다.
문제에서는 보통 다 충전되었다고 하거나
연결 후 충분한 시간이 지났다고 해서
완전히 충전된 축전기다. 라는걸 알려준다.
- 오개념 주의 -
저 위 그림을 보면
도선이 끊어져있는걸 볼 수 있다.
즉 전류가 축전기를 타고 흘러갈수 없어서
축전기를 통해 가는 전류는 0이고
옴의법칙 V=IR도 쓸수없다.
축전기는 저항이 아니기 때문이다.
- 축전기에 저장된 전기 에너지 -
다른 말로 축전기에 저장된 전기적 위치에너지이다.
즉 한쪽 극판에서 다른쪽 극판으로 전하를 옮길때 드는 일이다.
W = qV니까 이를 가지고 유도해보겠다.
몰라도 되고 결론 식만 알아가면 된다.
알아갈 최종 식이다.
- 축전기 사이의 전기장 -
완전히 충전되었다고 할때 전기장의 세기 E는
그니까 만약 저기서
전지를 전압 2V인걸로 바꾸면
축전기 사이의 전기장의 세기는 2E가 될거고
축전기 사이의 간격을 2d로 늘리면
전기장의 세기는 E/2가 될것이다.
- 심화 1 : 전지를 치우고 유전체를 끼웠을 경우 -
일단 전지를 없애보자.
이때 충전되어있는 전하량은 Q = CV 이다.
이제 유전체를 끼워보자.
여기서 핵심은
전자의 흐름이 곧 전류의 흐름인데
저 도선이 끊어져있어서 전자가 흐를 곳이 없다.
따라서 전자가 그대로 계속 속박되어있다.
즉 충전된 전하량이 같다.
Q = CV 에서
유전체 끼웠으니 C는 증가했는데
Q는 일정하므로 V는 감소할것이다.
E = V/d 니까 E도 감소할것이다.
- 축전기의 직렬 연결 -
두 축전기를 이렇게 직렬 연결하면 어떻게 될까?
일단 하던대로
전지의 왼쪽부분의 전위를 V라하면
오른쪽부분의 전위는 0이고
따라서 왼쪽 축전기의 왼쪽부분의 전위는 V이고
오른쪽 축전기의 오른쪽부분의 전위는 0이다.
따라서 왼쪽 축전기의 왼쪽에 전하가 충전되고
오른쪽 축전기의 오른쪽에 전하가 충전된다.
근데 전하가 충전된다는건
대전된다는거다.
따라서 정전기 유도에 의해
왼쪽 축전기의 오른쪽 판이 (-)극으로
오른쪽 축전기의 왼쪽 판이 (+)극으로 대전된다.
따라서 두 축전기에 충전되는 전하량은 같다.
대신 둘은 전압을 나눠갖는다.
이를 이용해
직렬연결된 축전기의 합성 전기용량을 구할 수 있다.
저항의 병렬연결하고 똑같은 모양의 식이다.
즉 이렇게도 표현할수 있다.
- 축전기의 병렬연결 -
이번에도 하던대로 하자.
도선 내에서의 전위는 모두 같고
따라서 위쪽 축전기와
오른쪽 축전기의 전위차는 같다.
전위차 = 전압이므로
두 축전기 양단에 걸리는 전압은 같다.
대신 전하량을 나눠 갖는다.
전류가 두 갈래로 나뉘어 가니까
두 축전기에 충전되는 전하량의 합이
전체 충전되는 전하량일것이다.
이걸 이용해 병렬연결된 축전기의 합성저항을 구하면
문제는 저항 회로 문제 풀때랑 같은 사고방식으로
풀면 된다.
직렬연결이면 전하량 같다는걸 이용하고
병렬연결이면 전압 같다는걸 이용하면 되는것이다.
- 심화 2 : 축전기 + 스위치 -
수능 단골소재다.
대충 이런식으로 생겼고
C₁ 축전기를 다 충전시킨다음
스위치를 a에서 b로 옮겼을때의 물리량들을 묻는다.
우선 a상황에서
C₂엔 전하가 충전될 수 없다.
선이 끊어져있어서 전위차가 0이기 때문이다.
따라서 a상황에서
C1에 충전되는 전하량은
Q₁ = C₁V 이다.
이 다음이 어려운데
여기서 스위치를 b로 옮겨보자.
일단 이렇게 만든 순간
전지는 사실상 없는거나 다름없게된다.
전지랑 연결된 도선이 끊어졌기 때문이다.
따라서 보기 쉽게 이 상황의 회로를 다시 그리자.
딱 b에 연결한 순간을 그린것이다.
축전기가 충전되도록 충분한 시간이 지나면 어떻게 될까?
C₁ 축전기 위쪽 판이 (+)로 대전되어있기 때문에
C₂ 축전기의 위쪽 판에있는 전자가
C₁쪽으로 끌려가게 되고
결국 둘은 전하를 나눠갖게 될것이다.
따라서 이건 병렬 연결이다.
따라서 둘에 걸리는 전압은 같다.
Q = CV에서 V가 같으니
Q/C가 같다.
따라서 저 경우
두 축전기에 충전되는 전하량은
전기용량에 비례한다.
그리고 이때 각각 걸리는 전압은 V일까? 아니다.
만약 C₁=C , C₂=2C 라고 해보자.
Q₁ = CV 이고
Q₁' + Q₂ = Q₁ = CV 이다.
Q₁' = CV₁이고 Q₂ = 2CV₂이다.
병렬연결이므로 둘의 합성 전기용량은
C + 2C = 3C이다.
따라서 Q₁ = Q₁' + Q₂ = CV₁ + 2CV₂ = CV
V₁ = V₂이므로 V₁ = V'이라 하고 묶어서 정리하면
V'(C+2C) = CV
따라서 V' = V/3 이다.
- 심화 3 : 유전체를 일부만 끼웠을 경우 -
축전기 회로의 일부를 나타낸것이다.
유전체를 저렇게 반만 채웠다.
유전체를 채우지 않은 순수한 축전기의 전기용량을 2C라 하면
이때 이 축전기의 전기용량은?
축전기가 병렬연결 되어있다고 생각하면 된다.
여기서 실수하면 안되는게
축전기의 길이를 반씩 나눴다.
따라서 왼쪽부분의 전기용량은 2C/2 = C이다.
유전상수가 2이므로
오른쪽의 전기용량은 2C이다.
따라서 합성 전기용량은 3C이다.
이번엔 이런 식으로 반만 채웠다고 해보자.
이때도 순수한 축전기의 전기용량을 2C라 하면
이 축전기의 전기용량은?
축전기가 직렬연결 되어있다고 생각하면 된다.
도선에서의 전위차는 0이니까 이렇게 되는거라고 이해하면 된다.
여기서도 실수하면 안되는게
축전기 사이의 면적을 반으로 나눴다.
즉 이때의 전기용량은 순수한 전기용량의 2배가 된다.
아래 부분은 2C에 2 곱해서 4C
윗 부분은 유전상수 2니까 4C에 2 곱해서 8C
따라서 합성 전기용량은 (8C×4C)/(8C+4C)= 8C/3
- 예제 -
1 )
ㄱ )
유전 상수가 κ이므로
(나)에서 축전기의 전기용량은 κC이다.
따라서 ㄱ(x)
ㄴ)
(나)에서 축전기의 전기용량이 κC이고
전압은 V이므로 충전된 전하량은 κCV이다.
κ>1이므로 ㄴ(o)
ㄷ)
전하량 충전이 (나)가 더 많이되니까
(나)가 더 클거라고 실수하기 쉬운 선지이다.
E = V/d 에서
V 같고 d 같으니
전기장의 세기는 같다.
따라서 ㄷ(x)
따라서 답은 1번
2 )
ㄱ)
극판 사이의 간격이 2배가 되었으니
(나)에서의 전기용량은 (가)에서의 1/2 배가 된다.
따라서 ㄱ(o)
ㄴ)
스위치를 연 순간 축전기에서 충전된 전하는 움직일 수 없다.
따라서 충전된 전하량은 전기용량에 관계없이 (가)에서와 (나)에서가 같다.
따라서 ㄴ(x)
ㄷ)
이 식에서
(나)에서와 (가)에서 충전된 전하량이 같음을 이용해서
Q²/2C 식을 쓸것이다.
(나)에서 전기용량이 (가)에서의 1/2 배이므로
저장된 전기에너지는 (나)가 (가)의 2배이다.
따라서 ㄷ(x)
따라서 답은 1번
3 )
일단 A와 B는 병렬연결 되어있으므로
A와 B에 걸리는 전압은 V로 같다.
따라서
이 식에서 V가 같음을 이용해
CV²/2 식을 이용할것이다.
A의 전기용량을 C라고 하면
B의 전기용량은
2C인 축전기와 4C인 축전기가 직렬연결된것의 합성 전기용량과 같다.
따라서 B의 전기용량은 4C/3이다.
따라서 Ua : Ub = 3 : 4이다.
따라서 답은 4번
4 )
ㄱ)
A, B, C 각각 이 식 쓰면
전기용량의 비는
A : B : C = 3 : 1 : 3 이다.
따라서 ㄱ(o)
ㄴ)
A의 전기용량을 3C, B의 전기용량을 C, C의 전기용량을 3C라 하겠다.
A와 B는 병렬연결 되어있으므로
A에 걸리는 전압 = B에 걸리는 전압 = A+B 합성축전기에 걸리는 전압
따라서 A+B의 합성전기용량을 구하면
3C + C = 4C이다.
(A+B)와 C는 직렬연결 되어있으므로
충전된 전하량이 같다.
Q = CV에서 Q가 같은데
전기용량의 비가 4 : 3 이므로
전압의 비는 3 : 4 이다.
따라서 걸리는 전압은 A가 C보다 작다.
따라서 ㄴ(x)
ㄷ)
B에 걸리는 전압을 3V라 하면
C에 걸리는 전압은 4V이다.
Q = CV 이 식을 이용해서
Qb = 3CV
Qc = 12CV
따라서 충전된 전하량은 C가 A의 4배이다.
따라서 ㄷ(o)
따라서 답은 4번
5 )
내가 심화에서 다뤘던게 숫자만 바꿔서 그대로 나왔다.
내 글을 똑바로 읽었다면 맞아야된다는거다.
a에 연결했을때
A에 걸리는 전압은 V이고
충전되는 전하량은 2CV이다.
b에 연결했을때는
전지는 없는거나 마찬가지니까 없애버리자.
그럼 A와 B를 병렬연결한 회로가 되고
따라서 A와 B에 걸리는 전압은 같고
전하량은 아까 a에 연결했을때
A에 충전되었던 2CV를 나눠갖게 될것이다.
A와 B의 합성저항은
병렬연결이므로 2C+3C=5C이고
A 양단의 전위차를 V' 이라 하면
2CV = 5CV'
따라서 V' = 2V/5
따라서 답은 1번
6 )
이 문제의 핵심은
E에 충전된 전하량이 0이라는게 무슨뜻인지 해석할수 있느냐 이다.
ㄱ)
E에 충전된 전하량이 0이라는건
전위차가 0이었다는거고
E 양단에 걸린 전압이 0이라는거다.
저 회로를 보기 좋게 다시 그리면
E 양단의 전위차가 0이다.
즉 a지점과 E 위쪽의 전위차와
a지점과 E 아래쪽의 전위차가 같다는것이다.
따라서 A와 B 사이의 전위차가 같고
따라서 A와 B에 같은 전압이 걸린다.
따라서 ㄱ(o)
ㄴ)
E 양단의 전위차가 0이니까
E는 그냥 없는거라고 봐도 된다.
A와 C는 직렬연결이므로
둘엔 같은 전하량이 저장되어야한다.
따라서 ㄴ(o)
ㄷ)
(A+C)와 (B+D)는 병렬연결이므로
둘에 걸리는 전압이 같다.
근데 A와 B에 걸리는 전압이 같으므로
C와 D에 걸리는 전압도 같다.
따라서 A와 C에 걸리는 전압의 비와
B와 D에 걸리는 전압의 비가 같다.
전압의 비는
A : C = 3 : 1이므로
B : D = 3 : 1이고
전기용량의 비는
2C0_ : C = 1 : 3 이므로
C = 6C0_이다.
따라서 ㄷ(o)
따라서 답은 5번
7 )
이 문제의 핵심은
완전히 충전이 완료된 축전기를 통해서는
전류가 '절대로' 흐르지 않는다는것이다.
이것도 심화에서 다룬거라 틀리면 안된다.
ㄱ)
전류의 이동 경로를 그려보자.
보다시피 한 가지 길 밖에 없다.
따라서 합성저항은 R + R = 2R이다.
그리고 a점에 흐르는 전류는
저 아래부분 R과 오른쪽부분 R이 직렬연결된것처럼 흐를것이므로
V = IR 에서
R 자리에 합성저항 2R을 넣으면 된다.
따라서 I = V/2R
따라서 ㄱ(o)
ㄴ)
전류는 저항 R인 두 저항이 직렬연결된것처럼 흐를것이기 때문에
전압은 두 저항이 V/2 씩 나눠가질것이다.
따라서 b와 c 사이의 전위차(전압)은 V/2이다.
따라서 ㄴ(x)
ㄷ)
축전기엔 전류는 흐르지 않지만 전압은 걸린다.
(축전기 + 저항) 과 a지점 부분 저항은
병렬연결 되어있으므로
둘에 걸리는 전압은 같다.
따라서 축전기에 걸리는 전압은 V/2이다.
따라서 충전되는 전하량은 CV/2이다.
따라서 ㄷ(o)
따라서 답은 4번
8 )
이정도는 풀 수 있어야
수능에 이상하게 생긴 회로 나와도 당황하지 않는다.
회로를 보기 쉽게 그려보자.
이래도 잘 모르겠으면 전류가 흐를 수 있는 방향을 표시해보자.
이 두가지 길밖에 없다.
근데 두 가지 길에서 공통으로 지나는 저항이
저항값 3R인 저항이다.
즉 축전기 다무시하고 저항만 떼서 그리자면
이런 그림이 나온다.
이제 각각 저항에 걸리는 전압을 표시해보겠다.
이정도 수준 문제에서는 전압 구하는 과정은 생략하겠다.
근데 여기서 축전기가 어떤 저항에 연결돼있었나?
초록색 동그라미 친애들끼리 병렬연결이고
빨간색 동그라미 친애들끼리 병렬연결이므로
각각 병렬연결은 전압이 같다는걸 이용하면
축전기에 걸리는 전압을 알수있다.
Q₁ = 7V/9
Q₂ = 16V/9
따라서 Q₁/Q₂ = 7/16 이다.
따라서 답은 4번
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