일반각과 호도법

삼각함수를 다루기에 앞서 기초적으로 다지고 가는 개념이다.

 

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- 동경과 일반각 -

점 O를 지나는

두 반직선 OA와 OB가 있다고 해보자.

여기서 각 AOB 라는거는

OB를 기준으로 했을 때

OA가 OB와 얼마나 벌어져 있느냐를 나타내는 값이라고 볼 수 있다.

OB를 기준으로 했으니까 OB를 고정시켜보자.

그럼 OA가 어떻게 움직이냐에 따라서 각이 달라진다.

여기서

기준이 되는 반직선 OB를 '시초선' 이라 하고

움직이는 반직선 OA를 '동경' 이라 한다.

 

그래서 각 AOB는 얼마인가?

대충 30° 라고 해보자.

근데 과연 30° 일까?

OA가 30°만 움직여서 저 각이 30°인걸까?

반시계방향으로 한바퀴 돈다음 30°만큼 더 간거일수도 있지 않나?

시계방향으로 한바퀴보다 30° 부족하게 돈거일수도 있지 않나?

여기서 반시계방향으로 도는걸 +방향

시계방향으로 도는걸 -방향이라 할것이다.

그니까 반시계방향으로 한바퀴 돈다음 30° 간거면

30° + 360° 인거고

시계방향으로 한바퀴보다 30° 부족하게 돈거면

-360° + 30° 인거다.

물론 꼭 한바퀴 돈다는 보장은 없다.

10바퀴 돌았을수도 있다.

즉 이 그림만으로는

동경과 시초선이 이루는 각을 정확히 알 수 없다는거다.

대신 어느정도인지 일반화시킬수는 있다.

일단 반직선 OA와 반직선 OB가 벌어진 정도로만 보면 30°가 맞는데

여기서 몇바퀴 돌았는지를 모르겠다.

라는걸 수식으로 표현한게 '일반각'이다.

정확한 정의는

동경과 시초선이 이루는 각 이다.

 

일단 30°정도 떨어져있는걸로 보이니

30° 에다가

몇바퀴 돌았는지 모르겠으니

n바퀴 돌았다고 하자.

물론 여기서 n은 정수이다.

한바퀴는 360° 이다.

따라서 일반각은 30° + 360° × n 이다.

 

 

문제는 이런 식으로 나온다.

이런 식으로

xy평면에서 원점을 중심으로 잡고

+x방향 반직선을 시초선으로 잡으면

그것의 동경이 제 2사분면의 각이라는거다.

일단 한바퀴도 안돌았다고 했을때

제 2사분면에 위치하려면 각의 범위가 어떻게 되어야 하는가?

 90° < θ < 180° 여야 한다.

근데 몇바퀴 돌았는지 모르니까 일반각은

90° + 360° × n < θ < 180° + 360° × n

이렇게 되고

θ/2 가 어디있냐고 묻는거니까

저 부등식을 전부 2로 나눠주면

45° + 180° × n < θ/2 < 90° + 180° × n

따라서 θ/2 의 동경이 위치할 수 있는 곳은

1사분면과 3사분면이다.

 

 

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- 호도법 -

 

각도의 단위인데

'호'의 길이로 각'도'를 나타내는 방'법' 이다.

반지름의 길이가 1인 부채꼴이 있다고 해보자.

여기서 이 부채꼴의 호의 길이가 1이 되도록 하는

부채꼴의 중심각의 크기가 바로 1 rad(라디안) 이다.

이건 약속이라 그냥 외우면된다.

깔끔하게 정의내리자면

반지름의 길이가 1인 부채꼴의 호의 길이가 1이 되도록 하는

중심각의 크기를 1 rad(라디안) 이라고 정의한다.

 

이런걸 왜 쓰냐면

호도법으로 각을 나타내는게 훨씬 직관적이고 편리하다.

앞으로 등장하는 각은 대부분 호도법이라 보면 된다.

그리고 일단 삼각함수가 호도법을 쓴다.

 

우리가 여태 45°, 60° 이런식으로 각을 나타낸건

육십분법 이라는걸 쓴거다.

 

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- 호도법과 육십분법 사이의 관계 -

중심각이 180°이고 반지름이 1인 부채꼴이 있다고 해보자.

이 부채꼴의 호의 길이는

반원이니까 π이다.

따라서 이때의 중심각을 호도법으로 나타내기 위해

중심각과 호 길이의 비례식을 세우면

중심각이 1 라디안일땐 호의 길이가 1이고

θ 라디안일땐 호의 길이가 π이다.

1 : θ = 1 : π

따라서 θ=π=180° 이다.

따라서  π = 180° 

라는 관계식이 나온다.

 

 

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- 부채꼴의 넓이와 호의 길이 -

 

이것도 비례식으로 한방에 끝낼 수 있다.

중심각이 θ 이고 반지름이 r인 부채꼴이 있다고 해보자.

이 부채꼴의 넓이를 S라 하고

비례식을 세우면 된다.

우선 원의 넓이는 πr² 이다.

원의 중심각은 360° 이고 360° = 2π 이다.

이번엔 호의 길이를 구해보자.

중심각이 θ 이고 반지름이 r인 부채꼴이 있다고 해보자.

호의 길이를 l 이라 하고

비례식을 세우면 된다.

원의 둘레는 2πr 이다.

원의 중심각은 360° 이고 360° = 2π 이다.

이를 이용해

부채꼴의 넓이를 다르게 표현할수도 있다.

이건 외워서 푸는게 아니라

풀다보면 외워지는거다.

 

 

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- 예제 -

1 )

 

ㄱ )

π = 180° 니까

120°/180° = 2/3 이고 따라서 ㄱ(o)

 

ㄴ )

양변에 6을 곱하면 π = 360° 인데

π = 180° 이므로 ㄴ(x)

 

ㄷ )

양변을 3으로 나누면 π = 180°

따라서 ㄷ(o)

 

ㄹ )

양변에 3/5를 곱하면 π = 360° 인데

π = 180° 이므로 ㄹ(x)

 

따라서 답은 ㄱ,ㄷ

 

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2 )

 

호의 길이는 반지름 × 중심각

따라서 호의 길이는 2π/3 이고

부채꼴의 넓이는

S = 1/2 × 중심각 × 반지름² = 4π/3

S = 1/2 × 반지름 × 호의 길이 = 4π/3