삼각함수의 활용 - 사인법칙과 코사인법칙

 

요새 평가원이 꽤 비중을 두고 있는 단원이다.

어렵지는 않다.

---

- 사인법칙 -

위 그림과 같이

삼각형의 한 변의 길이와

마주보는 각의 크기

이 두개와 관련된 법칙이다.

이 삼각형의 외접원을 그리면

이런식으로 될것이다. 반지름을 R이라 하겠다.

이때 사인법칙에 의해

이 식을 만족한다.

즉 삼각형의 변의 길이와 각의 사인 관계를 나타내는 정리이다.

 

삼각형의 한 변의 길이를

마주보는 각의 사인값으로 나눈 값은

외접원의 지름과 같다.

주의할건

어떤 변을 잡았던지

사인값에서의 각도는 그 변과 마주보는 각으로 잡아야한다.

그리고 sin이 등장한다고 무조건 사인법칙을 쓰는게 아니다.

저 관계를 나타냈더니 sin값과 이러한 관계가 있더라 라는 거지

sinθ 구하랬다고 무조건 사인법칙 쓰려고하지 말라는말

 

---

- 증명 -

 

a를 현으로 하는 호가 있다고 해보자.

이 호의 원주각은 원의 어느 지점을 찍어도 항상 θ로 같다.

따라서 a를 현으로 하면서

외접원의 중심을 지나도록 하는 원주각을 그리면

다음과 같은 직각삼각형이 되고

따라서 

이 식을 만족한다.

θ가 둔각이어도 같은 논리로 증명 가능하니 생략

 

 

---

- 코사인법칙 -

위 그림과 같이

삼각형의 세 변의 길이와

한 각의 크기

이 두개와 관련된 법칙이다.

 

이때 코사인법칙에 의해

이 식을 만족한다.

즉 삼각형의 변의 길이와 각의 코사인 관계를 나타내는 정리이다.

어떤 삼각형의 두 변의 길이의 제곱에다가

2 × (두 변의 길이의 곱) × (끼인각의 코사인값) 을 빼주면 나머지 한 변의 길이의 제곱이 된다.

θ = π/2면 직각삼각형이고 cosθ=0이라 a² + b² = c² 이다.

즉 피타고라스 정리의 확장이라 보면 된다.

주의할건

어떤 두 변을 잡았던지

코사인값에서의 각도는 두 변 사이의 끼인각으로 잡아야한다.

그리고 cos이 등장한다고 무조건 코사인법칙을 쓰는게 아니다.

저 관계를 나타냈더니 cos값과 이러한 관계가 있더라 라는 거지

cosθ 구하랬다고 무조건 코사인법칙 쓰려고하지 말라는말

 

---

- 증명 -

각 ACB를 Φ라 하고

A에서 선분 BC에 수선을 내린 다음

수선의 발을 D라 하겠다.

그럼 선분 BC의 길이는

BC = BD + DC 가 되고

BC = b

BD = a × cosθ

DC = c × cosΦ 이므로

이렇게 된다.

수선을 점 B에서도 내려서 해보자.

아까와 같은 방법으로 c를 구하면

이번엔 점 C에서 수선을 내리고

아까와 같은 방법으로 a를 구하면

 

이제 이 세 식을 연립할거다.

각각 a, b, c 를 양변에 곱해주면

이제 a² + b² - c² 로 연립해주면 증명이 완료된다.

---

- 예제 -

뭔가 당연한 말이면서도

막상 문제를 풀어보려하면 잘 안풀리는 부분이라

많은 연습이 필요하다.

 

---

1 )

 

반지름의 길이가 4인 원에 내접하는 정삼각형이 있다는건

이 정삼각형의 외접원의 반지름이 4라는거다.

따라서 외접원에 관련된 내용이므로

사인법칙을 적용해보는 방향으로 생각해봐야한다.

정삼각형이므로 변 아무데나 잡아도

변의 길이는 일정하고 마주보는 각은 항상 π/3 이다.

변의 길이를 X라 하고 사인법칙을 적용하면

따라서 답은 4√(3)

 

---

2 )

2004년 6월 모의고사 고2 수학 가형 28번

 

 

C₁은 빨간 삼각형의 외접원이고

C₂는 파란 삼각형의 외접원이다.

그리고 AB의 길이가 12이므로

삼각형의 한 변의 길이와

그 변과 마주보는 각의 크기를 안다.

그리고 외접원이 등장한다.

따라서 사인법칙으로 접근해보면 어떨까 라는 생각이 들어야한다.

R₁과 R₂를 구하기 위해 사인법칙을 각각 적용하면

따라서 답은 192

 

---

3 )

1998학년도 수능 수학 인문계 26번

 

문제의 조건만 그대로 그림에 표시해보면

두 변의 길이와 그 사이의 끼인각을 안다.

코사인법칙의 식을 보면

두 변의 길이와 그 사이의 끼인각을 알면

나머지 변의 길이를 알 수 있다.

따라서

두 변의 길이와 끼인각이 주어졌으니

코사인법칙으로 접근해봐야겠구나 라는 생각이 들어야한다.

b=8 , c=7 , θ=120°=2π/3 이므로 각각 대입하면

a의 길이를 알 수 있다.

따라서 답은 13

 

 

---

위 예제들은 누가봐도 사인법칙이나 코사인법칙 써야될것처럼 생겼고

사인법칙이나 코사인법칙만 적용하면 바로 답이 나오게 문제가 제시되어서 매우 쉬운 편이다.

이 단원의 이름이 '삼각함수의 활용' 이다.

즉 이건 삼각함수에서의 한가지 생각의 재료일 뿐이지

최근 수능문제는 사인법칙과 코사인법칙이 주가 된다기보단

이것을 적재적소에 잘 활용해서 어떤 각이나 변의 길이를 구해낼 수 있는가? 를 묻는다.