삼각방정식과 삼각부등식, 삼각형의 넓이

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- 삼각방정식과 삼각부등식 -

 

삼각방정식과 삼각부등식은

지수 로그함수의 방정식과 부등식 풀때와 똑같이 하면 된다.

지수 로그함수 풀때 지수법칙 로그법칙 쓰듯이

삼각방정식과 삼각부등식도

삼각함수의 특성을 이용하면 되는것이다.

 

삼각함수가 포함된 방정식이 삼각방정식이고

삼각함수가 포함된 부등식이 삼각부등식이다.

 

푸는 방법은 간단하다.

1. 주어진 식을 sin, cos, tan중 하나로 통일한다.

2. 하던대로 풀면 된다.

3. 단 항상 이렇게푸는건 아니니까 외우지 말고 이해하자.

 

 

일차식 꼴로 나타내어진건 너무 쉬우니까

기본문제만 몇개 풀어보고 넘어가자.

2019년 9월 모의고사 고2 수학 나형 10번

 

이렇게 풀수도 있지만

이렇게 풀면 곤란해질만한 문제가 있다.

 

 

이렇게 하면 어떻게 할건가?

sinx=1/3 을 만족하는 x값을 모르겠다.

하지만 합은 구할 수 있다.

삼각함수의 특성을 이용하는것이다.

저 x범위 내에서의 sinx의 그래프를 그려보자.

이렇게 생겼다.

sinx=1/3 의 해를 찾는다는건

y=sinx와 y=1/3 이 만나는 지점을 찾는다는 것이다.

x=α , x=β 에서 만난다고 해보자.

근데 sinx의 정의를 잘 생각해보면

α와 β는 x=π/2 에 대하여 대칭이다.

삼각함수의 대칭성을 이용하는 것이다.

따라서 α와 β의 값을 구하지 않아도

둘의 합 정도는 알 수 있다.

왜냐면 α와 β는 x=π/2 에 대하여 대칭이니까

α와 β의 평균이 π/2일 것이다.

따라서 (α+β)/2 = π/2 이고

따라서 α+β = π 이다.

이처럼 삼각함수의 특성을 이용하는 문제가 많으니

연습을 많이 해야한다.

 

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다음으로 이차식 꼴로 나타내어진 걸 풀어보자.

2017학년도 수능 수학 가형 25번

 

이건 중등수학에서 배운걸 이용해야 한다.

따라서 cos²x = 1-sin²x 이고

정리하면 아래와 같이 된다.

범위 내에서 이를 만족하는 실근은

x = π , 3π/2 이다.

따라서 답은 5π/2 이다.

 

 

삼각부등식은 이와 같은 방법으로 풀면 되기 때문에

굳이 설명할 필요가 없다.

그리고 평행이동한다던지 절댓값을 씌운다던지

지수 로그함수와 섞는다던지 하는데

어차피 한번만 더 생각하면 되는 똑같은 내용이라

이 또한 굳이 설명하지 않겠다.

 

 

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- 삼각형의 넓이 -

 

우리가 여태 배워온 삼각형의 넓이 공식은

1/2 × 밑변 × 높이 였다.

근데 이런 삼각형은 어떻게 구할건가?

직각삼각형도 아니고

이등변삼각형도 아니라서

높이를 알 수 없다.

이때 사인함수가 이용된다.

변 a와 변 b가 이루는 각이 θ라고 해보자.

그리고 밑변을 b라고 해보자.

그럼 이제 h만 구하면 된다.

근데 h는 중등수학에서 배운 삼각비로 알아낼 수 있다.

sinθ = h/a 이므로

h = asinθ 이다.

따라서 밑변 b, 높이 asinθ 인 삼각형의 넓이를 구하면

그게 이 삼각형의 넓이가 된다.

결론은

두 변의 길이와 그 두 변이 이루는 각만 알면

삼각형의 넓이를 구할 수 있다.

별 거 아닌거같지만 꽤 많이 쓰이므로

꼭 알고있어야한다.

 

 

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- 예제 -

 

두 변의 길이 4와 6은 이미 알고

두 변 사이의 각만 알면 된다.

근데 삼각형의 세 각의 크기의 합은 π 이므로

길이 4인 변과 길이 6인 변 사이의 각은

π - ( θ + π/3 - θ ) = 2π/3 이다.

따라서 넓이는