극한의 정의

 

수학II부터 본격적으로 함수와 그래프를 가지고 심화된 내용을 다룬다.

처음으로 배울건 극한이라는 건데

극한이라는 개념 자체가 대학교 미분적분학 과정이기 때문에

고등수학에서는 다음과 같이 알려져 있습니다. 라는 정도로 가르친다.

즉 극한이라는 개념을 엄밀히 배운다기보단

직관적으로 이해할 수 있는 정도로만 배운다고 보면 된다.

 

미분과 적분을 배우기 위한 빌드업의 시작인데

오개념이 잡히기 쉬운곳이라 주의해야한다.

여기서 오개념 잡힌채로 그냥 진행하면

나중에 미분 적분 할때도 오개념 잡힐거고

나중에 미분 적분 문제 풀때 잘 안풀리니까

그제서야 본인의 문제를 발견하는데

그때 돼서야 고치려니 도대체 어디부터 문제인지 모르겠는

총체적 난국이 펼쳐진다.

 

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- 극한 -

 

 

영어로는 limit 이고

기호로는 다음과 같이 쓴다.

x에 대한 함수 f(x) 가 있다고 해보자.

이 함수의 극한값을 알아볼것이다.

 

극한이란, 변수가 어떠한 값에 한없이 가까워질 때의 값이다.

예를 들자면

함수 f(x)에서 변수는 x이다.

그리고 어떠한 값에 한없이 가까워진다고 했는데

a에 가까워진다고 두겠다.

이 때 f(x)의 극한값은 다음과 같이 쓰인다.

이것의 뜻은

변수 x가 a에 매우 가까워질 때

빨간 박스 안에 있는 놈의 값을 구하겠습니다.

즉 극한값을 구하겠다는 뜻이다.

 

x가 a에 매우 가까워진다는건 무슨 말인가?

x값이 a를 향해서 매우 가까워지긴 하는데 a는 아니라는 뜻이다.

즉 x→1 이라면

x가 1을 향해서 매우 가까워지긴 하는데

1은 아니다.

이때 x값은 1.00000000000000000001

아니면 x값은 0.99999999999999999 이런 느낌인것이다.

물론 엄밀히 말하면 아니지만 일단 이런 느낌으로 이해하면 된다.

한없이 1에 가까워지지만 절대 1에 도달할 순 없다.

그럼 여기서 f(x)=x 라고 해보자.

이 값은 무엇인가?

a일까? x는 a가 아닌데?

그럼 a+0.000000000001인가?

아니면 a-0.0000000000001인가?

극한값 이라는건

어느 값을 향해서 가느냐를 묻는것이다.

변수가 어떤 수에 한없이 가까워질 때

빨간 박스 안의 정확한 값을 묻는게 아니라

빨간 박스 안의 값의 '목적지'가 어디냐는거다.

따라서 저 값은 a이다.

x가 a에 매우 가까워지면

f(x)=x인데

x가 a에 매우 가까워지므로

f(x)의 '목적지'는 f(a)이고 따라서 a이다.

 

 

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- 좌극한과 우극한 -

 

근데 한 가지 의문점이 있다.

x가 a에 가까워지긴 하는데

a보다 작은 곳에서 가까워지는건가?

아니면 a보다 큰곳에서 가까워지는건가?

 

여기서

a보다 작은 곳에서 가까워지는걸 좌극한

a보다 큰 곳에서 가까워지는걸 우극한 이라 한다.

 

쓸 때는 각각 다음과 같이 쓴다.

 

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- 극한값의 존재 : 수렴과 발산 -

 

극한값이 존재하는걸 수렴한다고 한다.

극한값이 존재하지 않는걸 발산한다고 한다.

 

극한값이라는건 항상 존재하는건 아니다.

즉 항상 수렴값을 갖는건 아닌데

함수 f(x)가 x=a에서 극한값이 존재하려면

즉 함수 f(x)가 x=a에서 수렴하려면

두 가지 조건을 만족해야 한다.

1. f(x)가 x=a에서의 좌극한과 우극한이 모두 존재함

2. f(x)가 x=a에서의 좌극한 값과 우극한 값이 같음

둘중 하나라도 만족하지 못하면 f(x)는 x=a에서 극한값이 존재하지 않는다.

극한값이 존재하지 않는건 어떤 경우냐면

함수 f(x)의 그래프가 이렇게 생겼을 때이다.

좌극한값과 우극한값이 다르다.

따라서 이때 함수 f(x)는 x=a에서 극한값이 존재하지 않는다.

 

이런 경우도 극한값이 존재하지 않는다.

좌극한은 있는데 우극한이 없기때문이다.

 

 

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- 오개념 주의 : 극한값과 함숫값의 차이 -

 

보통 여기서 오개념이 많이 잡히니 꼭 숙지해야한다.

 

 

함수 f(x)의 그래프가 다음과 같이 생겼다고 하자.

f(0)은 무엇인가?

당연히 3이다.

 

그럼 좌극한값은?

x=0 에서의 좌극한이라는건

x가 0보다 작은곳에서

0을 향해 매우 가까워지면

f(x) 값의 목적지는 어디인가? 라는것이다.

따라서 2이다.

 

그럼 우극한값은?

x=0 에서의 우극한이라는건

x가 0보다 큰곳에서

0을 향해 매우 가까워지면

f(x) 값의 목적지는 어디인가? 라는 것이다.

따라서 2이다.

 

따라서 f(x)는 x=0에서 극한값이 존재하고

그 값은 2 이다.

근데 f(0)은 3이다.

당연한 것이

x가 0에 매우 가까워진다고 했지

x=0 인게 아니다.

따라서 f(x) 그래프가 어떻게 생겼냐에 따라

극한값과 함숫값은 같을수도 있고 다를수도 있다.

 

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- 예제 -

 

1 )

2018년 10월 모의고사 수학 나형 6번

 

 

x=-1 에서의 좌극한이라는건

x가 -1보다 작은곳에서

-1을 향해 매우 가까워지면

f(x) 값의 목적지는 어디인가? 라는것이다.

따라서 1이다.

 

x=1 에서의 우극한이라는건

x가 1보다 큰곳에서

1을 향해 매우 가까워지면

f(x) 값의 목적지는 어디인가? 라는 것이다.

따라서 3이다.

 

따라서 답은 4번

 

 

2 )

x=2일때의 극한값이라는건

x라는 변수가 2에 매우 가까워질때

x^2 - 1 의 값의 '목적지' 가 어디냐는것이다.

목적지(극한값)는 2^2 - 1 이고 따라서 답은 3

 

3 )

2005학년도 6월 모의평가 수학 가형 5번

 

 

ㄱ )

f(x)의

x=1에서의 좌극한값은 -2

x=1에서의 우극한값은 0

따라서 극한값이 존재하지 않는다.

따라서 ㄱ(x)

 

ㄴ )

f(x)의

x=2에서의 좌극한값은 1

x=2에서의 우극한값은 1

따라서 극한값이 존재한다.

따라서 ㄴ(o)

 

ㄷ )

-1<a<1 인 실수 a에 대해

x=a에서의 극한값이 존재하냐고 묻는건데

a 의 범위가 -1<a<1 이면

항상 좌극한과 우극한이 같으므로

맞는 선지이다. 따라서 ㄷ(o)

 

따라서 답은 5번