이 부분은
처음엔 굉장히 난해하고 어렵게 느껴지기 때문에
문제를 많이 풀어서 감을 익히는게 중요하다 생각한다.
- 극한의 성질 -
당연한것만 모아놨지만 중요하다.
지금부터 등장하는 모든 성질은
함수 f(x)와 g(x)가 둘다 x=a에서 수렴할 때 성립하는 것들이다.
1.
k값은 x라는 변수가 몇이던 항상 k이다.
즉 x라는 변수에 대해 상수이다.
따라서 바깥으로 빼낼 수 있다.
2.
3.
4. (중요)
증명은 간단하게 가능하다.
물론 0으로 나누는건 정의되지 않기때문에
β=0 이거나 g(x)=0 이면 안된다.
- 함수의 극한값의 계산 -
이 값을 구하라 하면
쉽게 구할 수 있다.
그냥 x에 1을 대입하면
거기가 극한의 목적지니까
0 이라는 극한값으로 수렴한다.
근데 이러면 곤란해진다.
수렴값을 알기 위해 각각 수를 대입해보면
분모도 0이고 분자도 0이다.
?
계산하기 곤란하다.
하지만 푸는법은 간단하다.
계산하기 곤란하게 만드는 요소를 없애버리면 된다.
무슨말이냐면 분모 분자 둘다 0이라서 계산이 안되는 상황인데
뭐가 있길래 분모 분자가 둘다 0이 되는지를 보자는거다.
분자를 인수분해 해보자.
따라서 다음과 같은 결론을 얻어낼 수 있다.
분모와 분자가 둘다 x-1를 인수로 가져서
분모와 분자의 극한값이 0으로 계산되는 것이다.
즉 x-1 때문에 계산이 곤란하다는거다.
그럼 계산하고싶으면 없애버리면 된다.
0으로 나눌수 없다면서 왜 나누냐고 물을 수 있는데
x→1 일때 x-1의 값은 0이 아니다.
목적지가 0인데 절대 도달할수는 없고 끝없이 가까워지는 것이 0이라서
극한값이 0인 것이다.
0에 매우 가깝긴 하지만 0은 아니기 때문에
0으로 나눈게 아니고 따라서 x-1로 약분해도 된다.
따라서 저것의 극한값은 2이다.
다른것도 해보자.
이것의 극한값은?
∞+1 아닌가요 할 수 있는데
∞ 이라는건 한없이 큰 수라는 표현이지 실재하는 수가 아니다.
즉 실수가 아니다.
따라서 저것은 ∞+1이 아니라 ∞이다.
근데 ∞는 실수가 아니다.
따라서 ∞라는 값은 존재하지 않으므로
극한값이 존재하지 않는다. 즉 수렴하지 않는다.(발산한다)
그럼 이건?
분모도 ∞이고
분자도 ∞이다.
이것도 계산하기 곤란하다.
곤란한 이유는 분모분자가 ∞이기 때문이다.
왜 ∞냐면 x→∞ 이기 때문이다.
이것도 계산하기 곤란한걸 없애버리면 된다.
x 때문에 곤란한거니까 분모분자를 x로 나누자.
이러면 간단해졌다.
∞는 실수가 아니라면서 어떻게 x로 나눌수 있나요 할 수 있는데
다시말하지만 x는 ∞이 아니다. ∞을 향해 아주 가까워질 뿐이다.
즉 그냥 아주 큰 수라는 말이다.
따라서 x는 실수이고 나눠도 된다.
따라서 저것의 극한값은
일단 1/x 에서 x가 무한히 커지면
1/x 는 0에 가까워질것이다. 즉 목적지가 0이다.
따라서 전체 극한값은
1 + 0 = 1 이다.
여기까지 했으면 알았겠지만
극한값 계산하는건 간단하다.
일단 그냥 대입해서 계산하는데
대입했을때 계산하기 곤란한 모양이 나오면
계산을 곤란하게 만드는 인수들을 찾아서
걔네를 없애버리면 된다.
연습해보면 무슨말인지 안다.
이걸 계산해보자.
대입해보니 ∞ - ∞ 이다.
그럼 0인가?
그건 아니다. ∞는 실수가 아니라서 그렇게 계산하면 안된다.
∞라는건 한없이 큰 수라는 표현일 뿐이다.
그럼 어떻게 계산하느냐
∞ - ∞ 라서 곤란하니까
∞를 만드는 인자를 없애버리면 되는것이다.
∞ 를 만드는 인자는 x이다.
즉 x가 분자에 있으면 안된다.
5/x 같은 애들은
x가 무한히 커지면 전부 0에 수렴할것이므로 0이라 생각하고 계산하면 된다.
따라서 저것의 극한값은 3/2 이다.
하나만 더 해보자.
새로운 논리가 필요하다.
∞/∞ 이다.
∞를 만드는 인자는 x이다.
따라서 분자에 있는 x를 없애기 위해
x^2으로 분모분자를 나눠보겠다.
분자의 x를 없애긴 한거같은데 문제가 있다.
분자의 극한값은 1인데
분모의 극한값은 0이다.
1 / 0 꼴이 된것이다.
따라서 이것의 극한값은 존재하지 않는다.
정확히 말하면 ∞로 발산한다.
직관적으로 설명하자면
1. 무한히 큰 수 × 2
2. 무한히 큰 수의 제곱
둘 중 누가 더 클까?
당연히 2번이 압도적으로 크다.
따라서 x^2에 비하면
2x 따위는 사실상 0이나 다를 바 없다는것이다.
그래서 1/0 꼴이 나온것이고 따라서 ∞로 발산한다.
하나만 더
이건 뭘까?
-1을 홀수 제곱했다면 -1 이고
짝수 제곱했다면 1 이다.
그래서 x→∞ 일때 x의 목적지는 어디인가?
∞이다. ∞은 홀수인가? 짝수인가?
∞은 실수가 아니기 때문에 홀수인지 짝수인지 모른다.
따라서 저것의 극한값은 존재하지 않는다.
그냥 발산한다.
- 함수의 극한의 대소관계 -
일명 샌드위치 정리
무슨 말인지 하나씩 뜯어보자.
실수 a와 세 함수 f(x), g(x), h(x)가 있다.
f(x)와 g(x)의 x=a에서의 극한값은 각각 α, β 이다.
이때 함수 g(x)가 항상 f(x)보다 크거나 같다면
극한값도 항상 크거나 같다.
근데 의문점이 있다.
왜 α<β 가 아니라 α≤β 일까?
왜 그냥 크면 안되고
크거나 같다는 조건이 들어갈까?
함숫값이 커도 극한값은 같을수도 있기 때문이다.
이 경우를 보자.
일단 f(x)<g(x) 이다.
근데 x→∞ 일때의 극한값은
둘다 0으로 같다.
그래서 등호가 포함되는것이다.
그리고 두번째 식이 무슨말이냐면
우선 f(x)≤h(x)≤g(x) 이므로
g(x)는 항상 h(x) 위에 있고
f(x)는 항상 h(x) 아래에 있다.
근데 f(x)와 g(x)의 극한값이 같다면
1번 조건에 의해 저게 성립한다는 것이다.
h(x)의 극한값을 γ 라고 하겠다.
그러면 이렇게 된다.
따라서 (2) 가 증명 완료되었다.
f(x)≤h(x)≤g(x) 이므로
g(x)는 항상 h(x) 위에 있고
f(x)는 항상 h(x) 아래에 있는데
극한값이 같아지면서
세 함수의 그래프가 샌드위치처럼 위아래에서 포개지듯이 생겼다 해서
샌드위치 정리라고도 부른다.
- 예제 -
꽤 어려운 내용을 다뤘는데
잘 따라왔을지 모르겠다.
원래 어려운게 맞으니까 문제를 많이 풀어보면서 연습해야한다.
1 )
분모 분자가 둘다 수렴값이 0이라 계산이 곤란하므로
수렴값을 0으로 만드는 인자인 x-1을 약분한 뒤 계산한다.
따라서 답은 5
2 )
대입해보면
분모가 0에 수렴한다.
근데 저게 b 라는 수렴값을 갖는다고 한다.
따라서 분자도 0에 수렴해야한다.
따라서 2x^2 + ax 의 x=3 에서의 극한값은 0이다.
따라서 2×9 + 3a = 0
따라서 a = -6
이제 b를 구해보자.
a+b = -6+6 = 0
따라서 답은 0
3 )
(가) 조건부터 풀어보자.
다항함수를 x^2 으로 나눈뒤 x→∞ 으로 극한때렸더니
3이라는 수렴값을 가진다.
x→∞ 으로 극한때리면 분모가 무한인데
3이라는 수렴값을 가졌으므로
일단 분자도 무한이다.
따라서 f(x)는 x를 포함하고 있다.
근데 x를 하나만 포함하고 있으면
x/x^2 의 극한값은 0이기 때문에
3이라는 수렴값을 가질 수 없다.
따라서 f(x)는 x^2를 포함하고 있으며
수렴값 3을 갖기 위해서는
3x^2 를 포함하고 있어야한다.
따라서 여기까지의 단서로 f(x)를 추론하면
f(x) = 3x^2 + ax + b 이다.
a와 b는 몇이든 상관없다.
a와 b가 몇이던간에
x→∞ 으로 극한때리면
ax와 b는 3x^2 에 비해서는 너무 작은 수라서
사실상 0으로 취급되기 때문이다.
이제 (나)를 풀어보자.
분모가 0인데 4라는 최종 수렴값을 가졌다.
따라서 분모가 0으로 수렴한다면
분자도 0으로 수렴해야 수렴값을 가질 수 있다.
따라서 f(x)는 0으로 수렴한다.
따라서 f(x)는 x를 인수로 갖는다.
따라서 아까 f(x) = 3x^2 + ax + b 라고 했는데
x를 인수로 가져야 하므로 b=0 이다.
따라서 f(x) = 3x^2 + ax 이다.
이제 극한값이 4라는것을 이용해 a를 알아내보자.
따라서 a=4이고
f(x)의 추론이 완료되었다.
따라서 f(5) = 3×25 + 4×5 = 95
따라서 답은 95
4 )
우선 x-3 , f(x) , x^2-3x+1 의 x=2에서의 극한값을 각각 구해보면
샌드위치 정리에 의해
α = -1 임을 알 수 있다.
따라서 3α^2 = 3이다.
따라서 답은 3
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