수능 킬러문제에 거의 고정적으로 출제되는 주제이다.
물론 킬러이니만큼 여기서만 나오는게 아니고
여기저기서의 수학적 재료를 끌고와야하며
하나라도 모르면 못푼다.
여기서 그 킬러에 들어간다는 수학적 재료에
이 부분이 거의 무조건 들어간다.
매우 중요하다는 뜻이다.
- 연속의 정의 -
함수의 연속이라는건
쉽게 말하자면
함수가 끊어지지 않은 것 이다.
즉 함수 f(x)가 x=a에서 연속인지 알고싶다면
1. f(a) 가 존재하는가?
2. f(x)의 x=a에서의 극한값이 존재하는가?
3. f(x)의 x=a에서의 극한값과 함숫값이 같은가?
이 세개를 모두 만족하면 함수 f(x)는 x=a에서 연속이다.
물론 극한값이 존재하려면
좌극한과 우극한이 같아야 하므로
함수의 연속 조건을 다음과 같이 쓸 수 있다.
이걸 만족하지 못할때는 연속이 아닌 것이고,
수학적인 용어로는 불연속이라 한다.
이런 함수가 있다고 해보자.
x=a에서의 극한값이 존재하지 않는다.
따라서 이 함수는 x=a에서 불연속이다.
이렇게 정의된 함수 f(x)가 있다고 해보자.
우선 f(x)가 x=0에서 연속인지 검사해보자.
x=0에서의 함숫값은 존재하지만
x=0에서의 좌극한값과 우극한값이 다르므로
극한값이 존재하지 않는다.
따라서 f(x)는 x=0에서 불연속이다.
이번엔 f(x)가 x=1에서 연속인지 검사해보자.
우선 f(1) = 1 로 함숫값이 정의되어 있고
x=1에서의 좌극한값도 2고
우극한값도 2이라
x=1에서의 극한값도 2로 존재한다.
하지만 함숫값과 극한값이 같지 않다.
따라서 f(x)는 x=1에서 불연속이다.
보면 불연속인 부분에서 그래프가 끊어져있는것을 알 수 있다.
일단 직관적으로 끊어져 있지 않으면 연속이다. 라고 이해하면 된다.
물론 정확한 정의도 같이 알아둬야한다.
저건 그래프가 친절하게 그려져 있으니
척 봐도 끊어져있으니 연속이 아니겠구나 할수 있지만
보통 수능 킬러문제는
그래프를 그릴 엄두를 못내게 출제하기 때문에
연속의 정확한 정의를 반드시 알아야한다.
- 연속함수의 정의 -
함수 f(x)가 어떤 구간에 속하는 모든 실수에서 연속일 때,
f(x)는 그 구간에서 연속 또는 연속함수 라고 한다.
쉽게 말해서
f(x)가 구간 [-1,2] 에서 정의되어 있다고 하면
f(x)의 그래프가 구간 [-1,2] 에서 끊어져 있지 않으면
즉 -1과 2 사이의 모든 실수에서 연속이면
그 구간에서 f(x)는 연속 또는 연속함수 라고 한다.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)가 있다고 하면
x값이 얼마던간에 항상 연속 조건을 만족한다면
실수 전체의 집합에서 f(x)는 연속 또는 연속함수 라고 한다.
추가로, 함수의 연속성을 검사할 때
연속 조건만 만족한다면
함수의 생김새는 아무 상관이 없다.
y=f(x)가 이따위로 생겼어도
일단 끊어진 곳은 없으니 연속함수이다.
못 믿겠으면 아무곳이나 찍어서
함숫값과 극한값을 비교해보자.
그러면 끊어져있지 않은 이상은 무조건 연속이구나 라는걸 알게 될 것이다.
예를 들자면, 다항함수는 연속함수다.
- 연속함수의 성질 -
너무 당연한거지만 중요한 재료이다.
하나씩 증명을 해주겠다.
이건 3번을 증명하면 바로 증명되는거다.
g(x) = k 이면 g(x)는 상수함수이므로 연속함수이다.
따라서 3번이 성립한다면 1번도 성립한다.
우선 저게 연속이려면
좌극한값 = 우극한값 = 함숫값 을 만족하면 된다.
극한의 성질에 따라 다음 식이 성립하고
f(x)와 g(x)는 둘다 x=a에서 연속이므로
다음 식이 성립한다.
따라서 좌극한값=우극한값=함숫값 이므로
증명이 완료되었다.
이것도 극한의 성질에 따라 다음 식이 성립한다.
f(x)와 g(x)는 둘다 x=a에서 연속이므로
이 식도 성립하고
따라서 좌극한값=우극한값=함숫값 이므로
증명이 완료되었다.
이것도 극한의 성질에 따라 다음 식이 성립한다.
이제 위에 했던것과 같은 방식으로 하면
증명이 완료된다.
- 예제 -
1 )
f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이라는건
x에 아무 값이나 넣어도 연속이라는 것이다.
따라서 실수 전체의 집합에서 연속이려면
1. x≤1 에서 연속이어야함
2. x>1 에서 연속이어야함
3. x=1 에서 연속이어야함
근데 1번과 2번은
다항함수이기 때문에 무조건 성립한다.
x≤1 에서의 f(x)의 그래프이다.
누가봐도 x≤1 에서 연속이다.
x>1 에서의 f(x)의 그래프이다.
누가봐도 x>1 에서 연속이다.
따라서 x=1에서만 연속이면
f(x)는 실수 전체의 집합에서 연속이다.
f(x)가 x=1 에서 연속이려면
f(1) = 1에서의 좌극한값 = 1에서의 우극한값
이어야 한다.
f(1)은 x+2에 1 대입하면 3 이고
1에서의 좌극한값은 x+2에 1 대입하면 3 이고
1에서의 우극한값은 -x+a에 1 대입하면 a-1 이다.
따라서 x=1에서 f(x)가 연속이려면
a-1 = 3 이면 된다.
따라서 a=4 이다.
그냥 그래프를 안끊어지게 그린다음 그 때의 a값을 구해도 된다.
따라서 답은 5번
2 )
아까 풀었던거에서 사실상 숫자만 바꾸고 똑같은문제다.
우선 f(x)는 x≠2 일때
x^2 + ax - 10 도 연속함수고
x-2도 연속함수니까
결국 얘는 x≠2 에서 연속이다.
따라서 x=2에서만 연속이면
f(x)는 실수 전체의 집합에서 연속이다.
연속성 판단법 : 좌극한값 = 우극한값 = 함숫값
즉 위 식을 만족한다.
이제 함수의 극한 단원의 극한값 계산 하는것과 똑같다.
저게 b라는 수렴값을 가지는데
분모가 x-2로 0에 수렴하므로
분자도 0에 수렴해야한다.
따라서 분자에 2를 대입하면
4 + 2a - 10 = 0 이어야 하고
따라서 a = 3이다.
이제 극한값만 계산하면 된다.
따라서 a+b=10
따라서 답은 10
3 )
그래프를 그리기 곤란하다.
물론 이정도면 쉽게 나온거라 그리자면 그릴 순 있겠지만
그리지 않고 풀 수 있어야 한다.
수능 3점짜리문제면 쉽다는거다.
우선 함수 g(x)가 x=0에서 연속이 되려면
함수의 연속의 정의를 이용하면 쉽게 풀 수 있다.
좌극한값 = 우극한값 = 함숫값
따라서 4+2k = 0 을 만족한다면
좌극한값=우극한값=함숫값 이 되므로
g(x)는 x=0 에서 연속이다.
만족하는 k는 -2 이고
따라서 답은 1번
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