최대•최소 정리와 사잇값 정리

 

그냥 함수의 연속 부분의 심화 내용이다.

고등학교 수학 수준으로는 증명할 수 없어서

그냥 직관적으로 이해하고 넘어가는 부분이다.

그래서 그런지 출제 비율도 낮은 편이다.

 

 

---

 

- 최대•최소 정리 -

 

함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b] 에서 연속이면

f(x)는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다.

 

이런 식으로

함수가 닫힌 구간 [a,b] 에서 연속이면

a와 b 사이에서 그래프가 끊어지지 않았다는거니까

어딘가엔 최댓값과 최솟값이 생길 수 밖에 없다는 논리이다.

 

 

근데 두 가지 의문점이 있다.

1. 왜 닫힌 구간이어야 하는가?

2. 왜 연속이어야 하는가?

 

 

1. 왜 닫힌 구간이어야 하는가?

열린 구간 (a,b) 에서 연속이라고 해보자.

그럼 저기서 최댓값은 f(b)인가?

열린 구간 (a,b) 에서 연속이라 했으므로

f(b)의 값은 정의되지 않을수도 있다.

즉 최댓값이 정의되지 않을 수도 있게 된다.

최솟값도 같은 맥락으로 정의되지 않을 수도 있게 된다.

 

따라서 닫힌구간 [a,b]에서 연속이어야 하는것이다.

 

 

2. 왜 연속이어야 하는가?

 

이건 우리가 아는 함수중에 반례가 있는데

tanx 가 그렇다.

f(x) = tanx 라고 하자.

tanx 는 x=π/2 를 점근선으로 하는 함수이다.

구간 [0,π] 에서 f(x)는 연속함수가 아니다.

x=π/2 에서 불연속이기 때문이다.

따라서 구간 [0,π] 에서 f(x)의 최댓값과 최솟값을 구하려 하면

구할 수 없다.

왜냐면 각각 x=π/2 근처에서

+∞와 -∞로 발산하기 때문에

수렴값을 갖지 않고 따라서 최댓값과 최솟값이 존재하지 않는다.

 

 

---

 

- 사잇값 정리 -

 

중간값 정리라고도 한다.

함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b] 에서 연속이고

f(a)≠f(b) 일 때,

f(a)와 f(b) 사이의 임의의 값 k에 대하여

f(c)=k 인 실수 c가

열린 구간 (a,b) 안에 적어도 하나 존재한다.

 

무슨 말인가 싶을텐데 그래프를 그려보면 이해가 된다.

함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b] 에서 연속이라는건

그래프를 그렸을 때

a와 b 사이에 끊어지는 부분이 없이 쭉 이어야한다는건데

그러면 f(a)와 f(b) 사이의 값 k를 아무거나 잡으면

y=f(x)와 y=k 는 a와 b 사이의 어딘가에서 만날 수 밖에 없으므로

f(c)=k 를 만족하는 c의 값이 a와 b 사이 어딘가에 무조건 존재한다.

 

왜 f(a)≠f(b) 여야 하는가?

사실 이건 당연한건데

f(a)=f(b)라면

f(a)와 f(b) 사이의 임의의 값 k 자체가 존재하지 않는다.

 

 

- 심화 : 사잇값 정리의 방정식에서의 활용 -

 

사잇값 정리를 다시 가져오면

함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b] 에서 연속이고

f(a)≠f(b) 일 때,

f(a)와 f(b) 사이의 임의의 값 k에 대하여

f(c)=k 인 실수 c가

열린 구간 (a,b) 안에 적어도 하나 존재한다.

이건데

여기서 k=0 이라고 해보자.

그러면 y=f(x)와 y=0은

a와 b 사이의 어딘가에서 만날 수 밖에 없으므로

f(c)=0 을 만족하는 c의 값

즉 f(x)의 근은 a와 b 사이 어딘가에 무조건 존재한다.

 

 

---

 

- 예제 -

 

1 )

우선 구간 [2, 4] 에서 분모는 0이 아니면서 연속함수

분자도 구간 [2, 4]에서 연속함수 이므로

함수 f(x)는 구간 [2, 4] 에서 연속이다.

따라서 최대최소 정리에 의해 최댓값과 최솟값이

구간 [2, 4] 에 존재한다.

근데 2/(x-1) 의 값은

x값이 클수록 분모가 커지므로 분수의 값은 작아진다.

따라서 x=4일때 최솟값을 갖고

x=2일때 최댓값을 갖는다.

최댓값 = -3 + 2/(2-1) = -1

최솟값 = -3 + 2/(4-1) = -7/3

따라서 최댓값+최솟값 = -10/3

따라서 p+q = 13

따라서 답은 13

 

 

2 )

우선 x^3 - 5x^2 + k 는 다항식 이므로

구간 [-1, 1] 에서 연속이다.

따라서 사잇값 정리를 사용할 수 있다.

따라서 x^3 - 5x^2 + k 에 -1 을 대입한 값과

x^3 - 5x^2 + k 에 1 을 대입한 값의

부호가 다르다면

구간 (-1, 1) 에서 적어도 하나의 실근을 갖게 된다.

왜냐면 하나는 양수고 하나는 음수라면

구간 [-1, 1] 에서 저 방정식이 연속이기 때문에

y=0을 무조건 지나야하기 때문이다.

x^3 - 5x^2 + k 에 -1 을 대입하면

-1-5+k = k-6

x^3 - 5x^2 + k 에 1 을 대입하면

1-5+k = k-4

따라서 구간 (-1, 1)에서 적어도 하나의 실근을 가지려면

k-4가 k-6보다 크므로

k-4가 양수, k-6이 음수여야한다.

따라서 k-4>0, k-6<0을 동시에 만족해야하고

따라서 4<k<6 이고

따라서 이를 만족하는 정수 k는 5이다.

따라서 답은 5