적분과 부정적분의 정의

 

미분이 끝났고 이제 적분이다.

재미있는 부분이다.

근데 미분이 끝났다고 미분이 안나오는게 아니다.

적분의 정의에 미분이 사용되기 때문에

사실상 미분과 적분은 절대 떼어낼 수 없다고 보면 된다.

한글자도 빠짐없이 다 중요한 부분이니 꼭 이해하고 넘어가야한다.

 

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- 부정적분의 정의 -

 

우선 미분의 정의부터 출발해보자.

미분이라는건 다른 말로 한 단어로 표현하자면

미분 = 변화율

즉 미분이라는건

이거다.

변화율 이라는건

f(x) 변화량 / x 변화량 인데

여기서 적분이라는건

f(x)의 변화량 을 구하는것이다.

즉 f(x)의 변화량인 Δf(x)를 구하려면

간단하다. Δx를 양변에 곱하면 된다.

Δx→0 이면 Δ 대신

미소 변화량 즉 매우 작은 변화량 이라는 뜻의

d 라는 기호를 써서 표현할 수 있다.

Δx대신 dx 라 쓰고

Δf(x)대신 df(x)라 쓴다는것이다.

즉 위의 식을 아래와 같이 바꿀 수 있다.

이게 뭐냐면

x의 미소 변화에 대한 f(x)의 미소 변화량을 식으로 나타낸것이다.

근데 우리가 알고싶은건

미소 변화량이 아니라

전체 변화량이다.

즉 우리가 알고싶은 전체적인 변화량을 알고싶다면

어떠한 x의 미소 변화량에 대한 f(x)의 미소 변화량이 있을거 아닌가?

다시 말해서 dx에 대한 df(x)가 있을거 아닌가?

 이 df(x)들을 아주 많이 모아서 전부 더해버리면

f(x)가 나올것이다. 라는 논리이다.

 

적분은 한자로 積分 이다.

쌓을 적 나눌 분

잘게 부순 것(分)을 쌓는다(積)

 

즉 정리하자면

적분한다는건 이 미소 변화량들을 전부 더하겠습니다.

라는 뜻이다.

그리고 이것을 기호 ∫ 로 쓰며

integral, 인테그랄 로 읽는다.

∫ 을 사용해 위의 식을 다시 쓰면

적분의 정의가 완성된다.

 

따라서 부정적분의 정의는 다음과 같다.

이 두개가 있으면 적분하는거라 생각하면 된다.

즉 f'(x)를 부정적분하면 f(x)가 된다.

즉 미분의 반대과정이 적분이다.

따라서 다음과 같은 결론을 얻어낼 수 있다.

 부정적분은 미분의 역연산이다. 

 

여기서 f'(x)를 부정적분하여 f(x)를 얻어냈는데

f'(x)를 부정적분하여 얻어지는 f(x)를 '원시함수' 라고 한다.

즉 부정적분은 원시함수를 구하는 과정 이라고도 불린다.

만약 f(x)를 부정적분한 결과물이 F(x)라고 하면

F(x)가 f(x)의 원시함수 인것이다.

 

예를 들어보겠다.

여기서 f(x) = x^3 이라 하면

f'(x) = 3x^2 이다.

x^3을 미분하면 3x^2 가 되니까

3x^2를 부정적분하면 x^3 이 될것이다. 라는 말이다.

 

근데 문제가 있다.

f(x) = x^3 + 1 이라 해보자.

그래도 f'(x) = 3x^2 이다.

그럼 아래 식도 성립해야한다.

둘다 3x^2 를 부정적분한건데

결과물이 다르게 나온다.

이 뿐만이 아니라

f(x) = x^3 + π 라고 해도

f'(x) = 3x^2 이기 때문에

아래 식도 성립해야한다.

즉 원시함수가 x^3 을 포함한다는건 확실한데

이 원시함수의 상수값

즉 1, π, -2 따위의 값들은

미분하면 어차피 다 0이기 때문에

전부 미분하면 같은 식이 나온다.

즉

이것의 결과물이

x^3 + 1 인지

x^3 + 2 인지

x^3 인지

모르겠다는 것이다.

따라서 저 위의 것들처럼

부정적분의 결과물을 맘대로 쓰면 안된다.

 

따라서 일반화를 위해 다음과 같이 쓴다.

원시함수에 무슨 상수가 있을진 모르겠지만 일단 C라고 쓰겠다.

라는 뜻이다.

C는 상수 즉 constant 의 약자이며

여기서는 '적분상수' 라고 부른다.

 

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- 요약 -

1. 미분 = 변화율 , 적분 = 변화량

2. 부정적분은 미분의 역연산이다.

3. 부정적분의 결과물인 원시함수에서

상수항의 값이 얼마인지 모르니 C라고 표시한다.

 

 

 

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- 예제 -

 

1 )

 

 

부정적분 = 미분의 역연산

따라서 어떤걸 미분하면 x 가 나오느냐 이말이다.

그건 바로 x^2 / 2 이다.

물론 상수항의 값을 모르니 C를 더해주는걸 까먹으면 안된다.

따라서 답은

 

 

 

2 )

 

 

무엇을 미분하면 3x^2 - 2x + 3 이 되는지를 구하면 된다.

x^3 - x^2 + 3x 를 미분하면 된다.

그리고 상수항의 값이 얼만지 모르므로 C를 더해준다.

따라서 답은

 

 

 

3 )

 

 

 

f'(x) = 3x^2 라는 것이다.

따라서 f(x) = x^3+C 인데

f(0)=2 라고 했으므로 x=0을 대입하면

f(0) = C = 2

따라서 f(x) = x^3 + 2

따라서 f(2) = 10

따라서 답은 10

 

 

 

4 )

 

부정적분이 미분의 역연산이라는것만 알고있으면 쉽게 풀 수 있다.

ax^8 + C 를 미분했더니 3x^7 이 되었다고 한다.

ax^8 + C 를 미분하면 8ax^7 이다.

따라서 8a = 3 이다.

따라서 16a = 6 이다.

따라서 답은 6