정적분의 활용 #1 - 넓이

 

별거 없는 부분이지만 모르면 안된다.

 

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- 함수와 x축 사이의 넓이 -

 

내가 정적분은 구분구적법에서 나온거고

따라서 정적분이 곧 넓이의 합이라 했는데

사실 완전히 맞는 말은 아니다.

넓이 라는건 음수가 나올수 없는데

정적분의 값은 음수가 나올수 있기 때문이다.

 

내가 정적분의 정의 단원을 할 때 예로 들었던 함수이다.

보다시피 전부 x축 위에 있기 때문에

함숫값은 무조건 0보다 크거나 같고

따라서 여기서 구한 f(x)dx의 값은 음수가 아니었고

따라서 이게 넓이이다.

그래서 이런 정의가 가능했던것이다.

 

하지만 이런것의 넓이도 알고싶다.

저 파랗게 칠한 부분의 넓이를 구하고싶다.

그럼 x=0부터 x=2까지 적분할까?

그건 안된다.

x=0부터 x=1까지는 함숫값이 음수이기 때문에

f(x)dx가 음수가 되고

따라서 우리가 알고자 하는 넓이는 양수인데

정적분값이 음수가 나온다.

 

해결방법은 간단하다.

x축 아래에 있는걸 x축 위로 올린다음 적분하면 된다.

x축 아래에 있는것만 x축 위로 올리려면

함수 전체에 절댓값을 취하면 된다.

즉 우리가 구하고자 하는 넓이를 S라고 하면

이렇게 되는거다.

 

일반화 하자면

함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b] 에서 연속일 때,

곡선 y=f(x)와 x축 밑 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 부분의 넓이 S는

말이 조금 어렵게 적혀있는데

그냥 넓이는 양수인데

f(x)가 음수면 넓이가 음수가 되어버리니까

f(x)에 절댓값을 취해서 f(x)가 전부 양수가 되게 한 뒤

정적분하면 우리가 구하고자 하는 넓이를 알아낼 수 있다.

 

 

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- 두 함수 사이의 넓이 -

 

x=a부터 x=b까지

두 함수 f(x), g(x) 사이의 넓이를 알고싶다.

 

우선 이게 f(x)와 x축 사이의 넓이이다.

그리고 이게 g(x)와 x축 사이의 넓이이다.

그러면 f(x)와 x축 사이의 넓이에서

g(x)와 x축 사이의 넓이만 빼주면

우리가 원하는 넓이가 나올까?

그건 아니다.

왜냐면 x=a와 x=b 사이의

어떤곳에서는 f(x)가 더 크고

어떤곳에서는 g(x)가 더 크기 때문에

아까 함수와 x축 사이의 넓이를 구할 때

함숫값이 음수일수 있으니

음수인 부분을 양수로 만들어주기 위해 절댓값을 씌워주듯이

여기도 f(x)-g(x)에 절댓값을 씌워야한다.

잘 모르겠으면 f(x)-g(x) = h(x)라고 해보자.

∫ h(x)dx를 구하면 h(x)가 음수가 나올수도 있으니 절댓값을 취해서

∫ |h(x)| dx 를 구해야 한다.

즉 우리가 구하고자 하는 f(x)와 g(x) 두 곡선 사이의 넓이는

 

여기서 질문이 있을수 있는데

저기선 f(x)와 g(x)가 둘다 x축 위에 있어서 가능한거 아닌가 할 수 있는데

f(x)나 g(x)가 x축 아래에 있으면

위로 올려버리면 되는거 아닌가?

대신 여기선 절댓값을 취하지 말고

x축 위로 올라가도록 충분히 큰 수를

f(x)와 g(x)에 더해주자.

가령 f(x)+200 , g(x)+200 이런 식으로

이래도 되냐고 물을수 있는데

어차피 우리가 적분할건 | f(x)-g(x) | 이다.

즉 200을 더하든 2000을 더하든 20000을 더하든

어차피 사라지고 | f(x)-g(x) | 만 남는다.

즉 f(x)와 g(x)에 같은 수를 아무거나 더해도 되니까

x축 아래에 있는건 신경쓰지 않아도 된다.

어떤 값을 더해서 x축 위로 올리면 된다.

 

그리고 함수와 x축 사이의 넓이 공식에서는

저기서 g(x) = 0 이라서 | f(x) | 만 남은것이다.

 

 

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- 예제 -

 

1 )

 

 

우선 y=-x^2 + 2x 의 근은

x=0, x=2 이다.

따라서 우리가 구하고자 하는 넓이는 이것이다.

따라서 y를 x=0에서 x=2까지 정적분하면 된다.

여기선 전부 x축 위에 있으니 굳이 절댓값을 붙이지 않아도 된다.

따라서 답은 12

 

 

 

2 )

2014학년도 수능 수학 A형 홀수형 8번

 

 

두 함수 사이의 넓이를 구하는 문제이다.

근데 여기서 a와 b가 뭘까?

일단 두 함수로 둘러싸인 부분의 넓이니까

두 함수가 만나는 지점이 있을것이고

몇 번 만나는지는 모르겠지만

일단 둘러싸인 부분의 넓이라는게 존재하려면

두 번 이상은 만나야 한다.

따라서 a와 b가 의미하는 것은

a는 f(x)와 g(x)가 처음으로 만나는 지점의 x좌표이고

b는 f(x)와 g(x)가 마지막으로 만나는 지점의 x좌표이다.

 

따라서 f(x) = g(x) 의 근을 구한 뒤

가장 작은값을 a라 하고

가장 큰값을 b라 하면 되는것이다.

따라서 답은 3번