정적분의 정의

 

정적분 이라는건 구분구적법에서 시작되는건데

구분구적법이 미적분으로 넘어갔다.

미적분에서도 정적분과 급수의 관계를 설명하는데 언급되는 정도로만 한다.

하지만 일단 정적분의 정의는 이렇게 되니까 외워라 식으로 가르치는게 싫기 때문에

난 여기서 구분구적법을 할것이다.

싫으면 구분구적법은 그냥 넘어가도 된다.

어차피 미적분에서 또 해줄거다.

 

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- 구분구적법 -

 

구분구적법 이라는게 뭔말인지 모를텐데

구분 : 구분한다. 즉 분할했다. 잘랐다.

구 : 구한다.

적 : 쌓을 적(積). 면적에서의 적과 같은 한자이다.

 

즉

구적법 : 면적, 체적을 구하는 방법

구분구적법 : 분할하여 면적, 체적을 구하는 방법

 

 

그래서 어떻게 분할해서 구하는거냐면

예를 들어 원뿔이 있다고 해보자.

높이는 h이고 밑면의 반지름은 r이다.

 

이것의 체적(부피)을 구분구적법을 이용해서 구할것이다.

높이를 n등분할것이다.

즉 높이를 n개로 자를것인데

같은 간격으로 자를것이다.

맨 위의 도형은 원뿔이고

높이는 h를 n등분했으니 h/n 이고

밑면의 반지름은

삼각형의 닮음에 의해 r/n 이다.

 

위에서 두 번째 도형은

높이는 h/n이고

아랫면의 반지름은 2r/n 이고

윗면의 반지름은 r/n 이다.

따라서 이 도형의 넓이는

밑면의 반지름이 r/n인 원기둥의 부피보단 크고

밑면의 반지름이 2r/n인 원기둥의 부피보단 작을것이다.

즉 이 도형의 부피는

녹색 원기둥의 부피와

파란색 원기둥의 부피 사이에 있다.

 

방금껀 2번째 도형의 부피를 구한거다.

 

그럼 k번째 도형의 부피를 구해보자.

높이는 h/n 이고

윗면의 반지름은 (k-1)r/n

아랫면의 반지름은 kr/n 이다.

여기서 k번째 도형의 부피는

아까 2번째 도형의 부피를 구할때와 같은 논리로

높이 h/n, 반지름 (k-1)r/n인 원기둥의 부피보단 크고

높이 h/n, 반지름 kr/n인 원기둥의 부피보단 작다.

따라서 k번째 도형의 부피를 V(k)라 하면 다음 식이 성립한다.

저 그림에서는 5등분 했으니까

n=5라고 하고

대충 3번째 도형의 부피의 범위를 구해보겠다.

3번째 도형이니까 k=3이다.

오차가 꽤 크다는걸 알 수 있다.

오차가 큰 이유는

높이를 너무 작은 수로 나눴기 때문이다.

저건 5등분이기 때문에

이 두 원기둥의 부피 차이가 큰것이다.

즉 많이 나눌수록 오차가 줄어든다.

따라서 한 없이 많이 자르면

즉 n→∞ 이면

오차를 최소화할 수 있다.

여기서 각각 n→∞으로 극한을 취하면

n→∞ 으로 극한취했으니까 부등호 '<'가 '≤'로 바뀐것이다.

좌변과 우변을 간단히 만들면

이게 무한히 잘랐을때 k번째 도형의 부피를 나타낸 식이다.

이제 첫번째 도형부터 n번째 도형까지 전부 더해야한다.

즉 k=1부터 k=n까지 V(k)의 값을 전부 더해야한다.

 

좌변의 극한값을 구하면 다음과 같다.

우변의 극한값을 구하면 다음과 같다.

좌변과 우변의 극한값이 같다.

따라서 샌드위치 정리에 의해

따라서

높이 h, 밑면의 반지름의 길이가 r인 원뿔의 부피는

이다. 라는걸 구분구적법으로 증명했다.

 

 

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- 구분구적법의 한계와 정적분의 필요성 -

 

이 그래프의

x=0부터 x=1까지의 x축과 이루는 면적을

구분구적법으로 구해보자.

 

아까처럼 x의 길이인 1을 n등분 할거고

n→∞ 으로 극한때릴것이다.

즉 무한히 잘게 자를것이다.

 

아까 원뿔로 해봤으니까 이번엔 빠르게 가겠다.

k번째 도형의 넓이를 구해보면

빨간 직사각형보단 크고

파란 직사각형보단 작을것이다.

 

 

파란 직사각형의 넓이는

밑변 × 높이 이다.

밑변은 1을 n개로 자른거니 1/n 이고

높이는 y=x^2의 함숫값이다.

이때 x = k/n 이므로 y=(k/n)^2 이고

따라서 높이는 (k/n)^2 이다.

따라서 파란 직사각형의 넓이는 다음과 같다.

 

 

빨간 직사각형의 넓이는

밑변 × 높이 인데

밑변은 똑같이 1/n 이고

높이는 y=x^2의 함숫값이다.

이때 x = (k-1)/n 이므로 y = { (k-1)/n }^2 이고

따라서 높이는 { (k-1)/n }^2 이다.

따라서 빨간 직사각형의 넓이는 다음과 같다.

 

우리가 구하고자 하는 넓이는

빨간것보다 크고 파란것보다 작으니

다음과 같이 쓸 수 있다.

이제 오차를 줄이기 위해

아까와 같이 무한히 쪼개면 된다.

즉 n→∞ 으로 극한을 취하면 된다.

그런 다음 k=1부터 k=n까지 전부 더하면

1/3 이라는 값이 나온다.

 

근데 이번건

우리가 자연수의 제곱의 합 공식을 알기때문에 가능했다.

y=x^2 여서 가능했다는 말이다.

 

만약 y=x^4 면

이렇게 되기 때문에 우리가 풀 수 없는 수준에 이르게 되고

 

y=x^100 이면

사실상 이 방법으로는 구할 수 없게 된다.

 

따라서 복잡한 함수에서의 면적을 구할 방법이 필요하고 그게 정적분이다.

 

 

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- 정적분의 정의 -

 

구분구적법을 이용할거라

구분구적법 안읽은사람은 결론식만 외워가면 된다.

 

연속함수 y=f(x)가 이렇게 있다고 해보자.

이 함수가 x=a부터 x=b까지 x축과 이루는 면적을

구분구적법을 이용해서 구해볼것이다.

우선 구분구적법이니까 a와 b 사이를 n개로 나눈다.

 

 

그럼 저 부분의 x좌표는

a에서 (b-a)/n 만큼 더 간것이므로

저렇게 된다.

이 부분의 x좌표도 같은 방법으로

(b-a)/n 만큼 두번 갔으니

저렇게 된다.

각각 몇 번째 도형인지 표시한것이다.

k번째 도형에서의 x좌표를 보자.

 

a에서 (b-a)/n만큼 k번 갔으니 저렇게 된다.

이때 k값에 따른 x좌표를 x_k라 하겠다.

그럼 이렇게되고

k번째 도형의 넓이는

파란 직사각형의 넓이보단 작고

녹색 직사각형의 넓이보단 크다.

 

파란 직사각형의 넓이는

밑변 (b-a)/n 이고

높이 f(x_k) 이니 다음과 같다.

 

녹색 직사각형의 넓이는

밑변 (b-a)/n 이고

높이 f(x_k-1) 이니 다음과 같다.

 

따라서 우리가 구하고자 하는 k번째 도형의 넓이의 범위는 다음과 같다.

오차를 줄이기 위해 n→∞으로 극한을 취하면

구하고자 하는건 x=a부터 x=b까지의 전체 넓이니까

k=1부터 k=n까지 전부 더하면

이렇게 되고

좌변을 보기 편하게 정리하면

 

 

따라서 무한히 쪼갰을 때의 오차는 우변에서 좌변을 뺀 만큼이고

수식으로 쓰면 이렇게 된다.

따라서 오차는

이것의 k=n일때의 값 - 이것의 k=0일때의 값 이다.

오차를 구해보면

오차가 0이다.

즉 극한값이 같다.

따라서 샌드위치 정리에 의해

우리가 구하고자하는 것의 넓이는

우변의 극한값과 같다.

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 여기서 구하고자 하는 넓이를 S라고 하고 

 정리하면 다음과 같다. 

 근데 이렇게 쓰면 복잡하니까 

 기호로 간략화해서 표현하고 

 이를 정적분이라 부른다. 

 즉 정적분이란, 

 함수의 그래프가 이루는 도형의 면적을 구하는 방법이다. 

 간략화하면 다음과 같이 된다. 

어떻게 이렇게 되는건지 설명을 해주겠다.

이게 너무 길고 복잡하니까

간단하게 적분기호로 표시하는거다.

그리고 x=a부터 x=b까지니까

적분기호의 위아래에 다음과 같이 표기한다.

 

이제 f(x)dx의 정체만 알아내면 된다.

여기서 dx라는건 x의 미소 변화량이다.

그리고 x_k는

이거다. 첫째항이 a+(b-a)/n 이고

공차가 (b-a)/n 인 등차수열이다.

근데 이건 x좌표에 대한 등차수열이므로

수열의 각 항의 값은 x좌표이고

공차는 연속하는 두 항의 차이 이므로

x좌표의 변화량이다.

그리고 n→∞으로 극한을 취했으니

공차인 (b-a)/n 은 매우 작은 값이다.

즉 미소 변화량이다.

따라서 (b-a)/n = dx 이다.

 

여기까지 한걸 정리하면 다음과 같다.

 

최종 식은 여기서 k가 사라져야 하는데

왜 x_k에서 k가 사라졌을까?

x_k의 값은 k에 따라서

x=a부터 x=b까지 움직일텐데

여기서 x의 변화량

즉 dx는 매우 크기가 작은 값이기 때문에

x_k의 값이 x=a부터 x=b까지

'연속적으로' 움직인다고 볼 수 있다.

x_k 라는건 등차수열의 k번째 항인데

k가 연속적으로 움직이는 순간

이 등차수열이 몇번째 항인지 모르게 된다.

즉 x_k에서 k가 얼마라고 쓸 수가 없다.

따라서 f(x_k)에서 k가 사라지고

f(x)만 남는것이다.

 

따라서 이 문장은

 함수 f(x)를 x=a에서 x=b까지 적분합니다. 

라는 뜻이다.

 

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구분구적법을 안했다면 여기부터 읽으면 된다.

 

- 정적분의 정의와 계산 -

 

 정적분이란, 

 함수의 그래프가 이루는 도형의 면적을 구하는 방법이다. 

이 문장은

 함수 f(x)를 x=a에서 x=b까지 적분합니다. 

라는 뜻이다.

 

f(x)의 한 부정적분을 F(x)라 한다는건 무슨 말이냐면

F(x)가 f(x)의 원시함수

즉 f(x)가 F(x)의 도함수이기만 하면

F(x)는 무엇이든 상관없다는것이다.

 

왜인지는 계산을 해보면 바로 알 수 있다.

f(x) 의 정의가 다음과 같다고 할 때,

이것의 값을 구해보자.

그럼 F(x)는 위와 같이 되고

계산하면

어차피 적분상수 C는 계산 과정에서 사라지기 때문에

F(x)가 f(x)의 원시함수이기만 하면

적분상수는 무엇이든 상관 없는것이다.

 

 

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- 예제 -

 

 

따라서 답은 60