미적분에서는 수학II에서 볼 수 없었던
복잡한 미분법들이 있었는데
적분에도 있다.
우선 쉬운걸로 시작하고
다음에 복잡한 적분법으로 넘어가겠다.
- y = xⁿ 의 부정적분 -
부정적분이 뭔지만 알고있다면 간단하다.
부정적분은 미분의 역연산이다.
즉 어떤 함수를 미분해야 xⁿ 이 나오냐고 묻는것이다.
따라서 y=xⁿ의 부정적분은 다음과 같다.
이렇게 당연한걸 굳이 왜넣냐면
n=-1 인 특이한 케이스가 존재하기 때문이다.
왜냐면 n=-1이라 하고 부정적분하려 해보자.
0으로 나눠야하는 말도 안되는 결과가 나온다.
그럼 n=-1인 경우엔 부정적분이 존재하지 않느냐?
그건 아니다.
lnx를 미분해보자.
1/x 아닌가?
즉 1/x를 부정적분하면 ln|x|+C 가 나온다.
왜 절댓값이 붙냐면 x<0 에선 ln이 정의되지 않기 때문이다.
따라서 n=-1인 경우 xⁿ 의 부정적분은 다음과 같다.
따라서 이를 다음과 같이 일반화할 수 있다.
- 지수함수의 부정적분 -
부정적분은 미분의 역연산
e^x는 미분해도 e^x 이다.
따라서 e^x의 부정적분은 e^x+C 이다.
a^x를 미분하면 a^x × lna 이다.
따라서 미분해서 a^x가 나오기 위해서는
a^x / lna 를 미분해야한다.
따라서 a^x의 부정적분은 a^x / lna + C 이다.
지수함수와 로그함수는 한쌍이지만
로그함수의 적분은
부분적분법 이라는 새로운 개념을 이용해야하기 때문에
다음 글로 미루겠다.
- 삼각함수의 부정적분 -
부정적분은 미분의 역연산
미분해서 sinx가 나오려면
-cosx를 미분해야한다.
따라서 sinx의 부정적분은 -cosx + C 이다.
미분해서 cosx가 나오려면
sinx를 미분해야한다.
따라서 cosx의 부정적분은 sinx + C 이다.
- 예제 -
1 )
설마 부정적분만하고 정적분은 안했잖아요 하는건 아니겠지?
그런 생각이 들었다면 그냥 정적분의 정의를 모르는거다.
따라서 답은 3번
2 )
따라서 답은 5번
3 )
따라서 답은 2
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