정적분의 활용 #1 - 정적분과 급수의 관계

 

교육과정의 순서가 좀 이상하다.

이 부분은 정적분의 정의에 들어가야 할 내용이다.

따라서 정적분의 정의를 먼저 제대로 다룬 다음

정적분과 급수의 관계를 다룰것이다.

 

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- 정적분의 정의 -

 

정적분이란,

어떤 함수가 이루는 도형의 넓이를 구하는 방법이다.

연속함수 y=f(x)가 이렇게 있다고 해보자.

이 함수가 x=a부터 x=b까지

x축과 이루는 면적을 구해볼것이다.

어떻게 구할거냐면

a와 b 사이를 n개로 나눈다.

그런다음 각각의 도형의 넓이를 전부 더해주면 된다는 논리이다.

 

그럼 저 부분의 x좌표는

a에서 (b-a)/n 만큼 더 간것이므로

저렇게 된다.

이 부분의 x좌표도 같은 방법으로

(b-a)/n 만큼 두번 갔으니

저렇게 된다.

각각 몇 번째 도형인지 표시한것이다.

k번째 도형에서의 x좌표를 보자.

 

a에서 (b-a)/n만큼 k번 갔으니 저렇게 된다.

이때 k값에 따른 x좌표를 x_k라 하겠다.

그럼 이렇게되고

따라서 x_k와 x_(k+1) 사이의 간격은 (b-a)/n이다.

k번째 도형의 넓이는

파란 직사각형의 넓이보단 작고

녹색 직사각형의 넓이보단 크다.

 

파란 직사각형의 넓이는

밑변 (b-a)/n 이고

높이 f(x_k) 이니 다음과 같다.

 

녹색 직사각형의 넓이는

밑변 (b-a)/n 이고

높이 f(x_(k-1)) 이니 다음과 같다.

 

따라서 우리가 구하고자 하는 k번째 도형의 넓이의 범위는 다음과 같다.

오차를 줄이기 위해 n→∞으로 극한을 취하면

실수가 있습니다.   n→∞으로 극한을 취했기 때문에 부등호는 <가 아니라 ≤ 입니다.

구하고자 하는건 x=a부터 x=b까지의 전체 넓이니까

k=1부터 k=n까지 전부 더하면

이렇게 되고

좌변을 보기 편하게 정리하면

 

 

따라서 무한히 쪼갰을 때의 오차는 우변에서 좌변을 뺀 만큼이고

수식으로 쓰면 이렇게 된다.

따라서 오차는

이것의 k=n일때의 값 - 이것의 k=0일때의 값 이다.

오차를 구해보면

오차가 0이다.

즉 극한값이 같다.

따라서 샌드위치 정리에 의해

우리가 구하고자하는 것의 넓이는

우변의 극한값과 같다.

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 여기서 구하고자 하는 넓이를 S라고 하고 

 정리하면 다음과 같다. 

 근데 이렇게 쓰면 복잡하니까 

 기호로 간략화해서 표현하고 

 이를 정적분이라 부른다. 

 즉 정적분이란, 

 함수의 그래프가 이루는 도형의 면적을 구하는 방법이다. 

 간략화하면 다음과 같이 된다. 

어떻게 이렇게 되는건지 설명을 해주겠다.

이게 너무 길고 복잡하니까

간단하게 적분기호로 표시하는거다.

그리고 x=a부터 x=b까지니까

적분기호의 위아래에 다음과 같이 표기한다.

 

이제 f(x)dx의 정체만 알아내면 된다.

여기서 dx라는건 x의 미소 변화량이다.

그리고 x_k는

이거다. 첫째항이 a+(b-a)/n 이고

공차가 (b-a)/n 인 등차수열이다.

근데 이건 x좌표에 대한 등차수열이므로

수열의 각 항의 값은 x좌표이고

공차는 연속하는 두 항의 차이 이므로

x좌표의 변화량이다.

그리고 n→∞으로 극한을 취했으니

공차인 (b-a)/n 은 매우 작은 값이다.

즉 미소 변화량이다.

따라서 (b-a)/n = dx 이다.

 

여기까지 한걸 정리하면 다음과 같다.

 

최종 식은 여기서 k가 사라져야 하는데

왜 x_k에서 k가 사라졌을까?

x_k의 값은 k에 따라서

x=a부터 x=b까지 움직일텐데

여기서 x의 변화량

즉 dx는 매우 크기가 작은 값이기 때문에

x_k의 값이 x=a부터 x=b까지

'연속적으로' 움직인다고 볼 수 있다.

x_k 라는건 등차수열의 k번째 항인데

k가 연속적으로 움직이는 순간

이 등차수열이 몇번째 항인지 모르게 된다.

즉 x_k에서 k가 얼마라고 쓸 수가 없다.

따라서 f(x_k)에서 k가 사라지고

f(x)만 남는것이다.

 

따라서 이 문장은

 함수 f(x)를 x=a에서 x=b까지 적분합니다. 

라는 뜻이다.

 

 

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- 정적분과 급수의 관계 -

 

정적분의 정의는 다음과 같다.

즉

 정적분은 

 어떤 함수가 이루는 도형의 넓이를 구할때 급수를 쓰는데 

 그게 식이 복잡하니까 간단히 표현한것이다. 

x_k까지 풀어쓰면 다음과 같이 된다.

 

 

여기서 급수의 각 부분이 무엇을 의미하는지를 이해하고 있어야한다.

 

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- 예제 -

 

여기 문제를 못푼다는건 이해를 못했다는것

 

1 )

2015학년도 수능 수학 B형 9번

 

 

우선 이거고

k가 1 증가할때마다

x_k 의 값은 2/n 씩 증가하므로

x의 변화량 즉 dx = 2/n이다.

따라서 다음과 같이 고쳐진다.

x_k의 값은

k=1일때부터 k=n일때까지 변하므로

정적분의 시작점은 k=1일때의 x_k 값이고

끝점은 k=n일때의 x_k 값이다.

따라서 정적분의 시작점은 1이고

끝점은 3이다.

따라서 결론적으로 아래와 같은 정적분 식으로 바꿀 수 있다.

따라서 답은 2번

 

 

 

2 )

2020학년도 수능 수학 나형 11번

 

 

x_k의 값은

k가 1 증가할때마다 2/n씩 증가한다.

따라서 dx = 2/n이다.

따라서 f(2k/n) 앞에 곱해진 1/n은

dx/2 를 의미한다.

그리고 k=1일때부터 k=n일때까지니까

즉 정적분의 시작점은 x_k에서 k=1일 때의 값이고

따라서 정적분의 시작점은 0이다.

정적분의 끝점은 x_k에서 k=n일 때의 값이고

따라서 정적분의 끝점은 2이다.

따라서 최종적으로 다음과 같은 정적분 식으로 바꿀 수 있다.

따라서 답은 4번

 

 

 

3 )

2020학년도 9월 모의평가 수학 나형 19번

 

 

19번이라는건 준킬러급이라는거다.

근데 이해만 했다면 너무 쉬운내용이라서 그냥 넣었다.

이젠 설명 안해도 여기까지는 될것

k=1일때부터 k=n일때까지니까

x_k의 k=1일때의 값

즉 정적분의 시작점은 0이고

x_k의 k=n일때의 값

즉 정적분의 끝점은 1이다.

그리고 k가 1 증가할때마다

x_k는 1/n 증가하므로

dx = 1/n 이다.

 

근데 문제가 있다.

얘가 뭔지 모른다.

왜냐면 dx는 1/n인데

저건 1/n이 아니기 때문이다.

따라서 이대로는 정적분이 안되니

저 식의 변형이 필요하다.

 

분모 분자에 n을 나눠보자.

따라서 최종적인 정적분 식은 다음과 같이 된다.

따라서 답은 1번