정적분의 활용 #3 - 거리와 길이

 

미적분의 마지막 내용이다.

 

수학II에서는

수직선 위(x축 위)를 움직이는 점 P에 대한 것만 다뤘다.

미적분에서는 x축 뿐만이 아니라

xy 좌표평면에서 움직이는 점도 다룬다.

 

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- 좌표평면 위를 움직이는 점의 움직인 거리 -

 

수학II에서 하던거랑 똑같다.

단지 수학II에서는

매개 변수로 주어진 x, y를 각각 미분하는걸 안배워서

다루지 못했던것 뿐이다.

 

점 P가 t=0에서 t=t까지 움직인 거리는

다음과 같이 될것이다. 수학II와 똑같다.

속도의 크기를 적분하면 된다.

여기서

수학II였다면 v(t) = x'(t) 일 것이고 구하기 쉽다.

하지만 미적분에서는

x만 있는게 아니라 y도 있기 때문에

이렇게 하면 안된다.

쉽게 말해서 y방향 속도도 있을수 있기때문에

v(t) ＝ x'(t) 라고 장담할수 없다.

따라서 속도의 크기를 이렇게 쓰면 안된다.

 

그럼 어떻게 쓰냐면

점 P가 xy 좌표평면 위를 움직인다고 해보자.

빨간 화살표 방향으로 움직인다고 해보자.

 

그럼 이것에 대해

x방향 속도가 있고

y방향 속도도 있을것이다.

이 둘을 같이 생각해서 구해야한다.

근데 속도라는건

위치의 순간변화율이다.

즉 어떤 순간의 속도의 크기를 알고싶다면

어떤 순간의 x방향 위치의 순간변화율과

y방향 위치의 순간변화율을 구한 다음

피타고라스 정리를 이용해 속도의 크기를 구하는것이다.

 

그리고 왜 x방향 y방향으로 분해했냐면

x와 y가 t에 대한 함수니까

이런식으로 각각 시간(t)에 대해 미분하면

x방향 속도와 y방향 속도를 구할 수 있기 때문이다.

 

따라서 속도의 크기는 다음과 같다.

 

따라서 t=0부터 t=t까지 점 P가 움직인 거리는 다음과 같다.

 

 

 

 그리고 이걸 일반화하면 

 t=a부터 t=b까지 점 P가 움직인 거리는 다음과 같다. 

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- 곡선의 길이 -

 

사실 곡선의 길이 = 점 P가 움직인 거리 이다.

점 P가 움직이면서 남기는 자취의 길이라고 보면 된다.

 

 x가 t에 대한 함수이고 

 y도 t에 대한 함수이면 

 a≤t≤b 에서 곡선의 길이는 다음과 같다. 

 

근데 그냥 똑같은건데 왜 움직인 거리와 나눴냐면

y = f(x) 의 곡선의 길이를 알고싶은거다.

 

예를 들자면

곡선 y = f(x) = 3x³-x² 의

x=0에서 x=5 까지의 곡선의 길이는?

 

일단 x=0부터 x=5까지고

곡선의 길이가 곧 점이 y=f(x)를 따라 움직인 거리니까

다음과 같이 쓸 수 있다.

저 물결표 부분에 들어갈 것만 채우면 된다.

 

우선 곡선의 길이 = 움직인 점의 자취의 길이 니까

속도의 크기를 적분하면 될텐데

그 속도의 크기는

x방향과 y방향을 각각 구한 뒤

피타고라스 정리를 이용해 구하는거였다.

그리고 속도라는건 순간변화율이다.

우리가 적분할 변수가 x니까

x의 변화에 대한 x의 변화량이 x방향 속도고

x의 변화에 대한 y의 변화량이 y방향 속도이다.

 

따라서 다음과 같이 된다.

 

 

 따라서 일반화하자면 

 a≤x≤b 에서 곡선 y=f(x)의 길이 l은 다음과 같다. 

 

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- 예제 -

 

1 )

2017년 7월 모의고사 수학 가형 19번

 

 

ㄱ )

우선 속도를 구하기 위해

x와 y를 각각 t에 대해 미분하면

따라서 t = π/2 일때 점 P의 속도는

따라서 ㄱ(o)

 

 

ㄴ )

속도의 크기는 피타고라스 정리를 이용하면

따라서 속도의 크기의 최솟값은

sint - 2 = -1 일때 이므로 1이다.

따라서 ㄴ(o)

 

 

ㄷ )

움직인 거리는 속도의 크기를 적분하면 된다.

sint - 2 는 무조건 음수이기 때문에

마이너스 붙이면 절댓값을 벗겨낼 수 있다.

이제 적분하면 된다.

따라서 ㄷ(o)

 

따라서 답은 5번

 

 

 

2 )

2019학년도 6월 모의고사 수학 가형 12번

 

 

적분 식을 만들어내기까진 쉬운데

적분이 귀찮은 문제이다.

따라서 답은 5번

 

 

미적분 끝

 

확통과 기하는 2022학년도(2021년 시행) 수능이 끝날때쯤부터 시작하겠습니다.