통계적 추정 #2 - 표본평균의 분포와 표준화

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- 표본평균의 분포 -

 

전 시간에

표본평균도 확률변수라고 했다.

그리고 이 표본평균이라는 확률변수의 분포는

모집단이 정규분포를 따른다면

표본평균도 정규분포를 따른다고 했다.

 

근데 여기서 말하고자 하는건

모집단이 정규분포를 따르지 않아도,

표본평균의 분포는 정규분포를 따를수도 있다.

 

어떻게 가능하냐면

바로 전 글에서 예로 들었던걸 그대로 가져오겠다.

한국사람의 키의 평균을 조사할것이다.

여기서 표본을 100명으로 잡으면

그 100명의 키의 평균이 표본평균이다.

근데 5천만명중에 100명을 뽑는 경우의 수는

너무 많지 않을까?

5천만보다 말도안되는 수준으로 큰 수가 나오지 않을까?

즉 표본평균의 개수가 5천만보다 아득히 크지 않을까?

따라서 모집단이 정규분포를 따르지 않더라도,

표본평균의 개수가 너무 많으니

표본평균은 정규분포를 따르게 되지 않을까?

 

따라서 결론은,

모집단이 정규분포를 따르지 않아도,

표본의 크기가 충분히 크면 표본평균은 근사적으로 정규분포를 따른다.

그냥 그렇게 알려져있으니 암기하자.

 

요약해서 쉽게 암기하자면,

표본평균은 정규분포를 따른다.

 

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- 표본평균의 표준화 -

 

이건 예제문제를 풀어주면서 설명해주겠다.

 

우선 화장품 9개를 임의추출 한다음

그것을 분석하라는 문제이니

'표본평균' 문제이고

모집단이 정규분포를 따르기 때문에

표본평균도 정규분포를 따른다.

 

근데 주어진 표는 '표준정규분포표'이다.

따라서 표준화해야한다.

표본평균은 어떻게 표준화해야할까?

그냥 하던대로 하면 된다.

표준화 : 확률변수를 간단히 표현하기 위해 m, σ를 소거시키는것

우선 모집단에서의 확률변수 X를 어떻게 표준화했는지 복습해보자.

 

표본평균도 똑같이 하면 된다.

표본평균의 평균 = m

표본평균의 표준편차 = σ/√n

여기서 m은 모집단의 평균이며,

문제에서 201.5g 이라 줬다.

따라서 m=201.5g 이다.

n은 표본의 크기이며,

화장품 9개를 임의추출했다 했으니 n=9 이다.

σ는 모집단의 표준편차이며,

문제에서 1.8g이라 줬다.

따라서 σ=1.8g 이다.

위 식에 대입하면

따라서 표준화가 완료되었다.

그리고 문제에서 묻는건

표본평균이 200g 이상일 확률이다.

식으로 표현하면 아래와 같다.

아까 구해놓은 표준화 식이 있으니

여기 대입만 해주면 표준화된 식으로 바꿀수 있다.

 

P(Z≥-2.5) = P(Z≥0) + P(2.5≥Z≥0)

표준정규분포표에 따라서

P(Z≥0) + P(2.5≥Z≥0) = 0.5 + 0.4938 = 0.9938

 

따라서 답은 5번

 

 

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- 예제 -

위에서 했던거 또하는거지만

위의 문제는 사실상 내가 다풀어준거니까 스스로 연습해봐야한다.

2012학년도 9월 모의평가 수학 나형 29번

 

우선 표본평균이 등장했으며

이런 조건도 문제에서 제시되었다.

따라서 표본평균을 분석하는 문제이다.

근데 모집단이 정규분포를 따르기때문에

표본평균도 정규분포를 따른다.

표본평균이 따르는 정규분포를 기호로 표현하면

 

근데 주어진건 표준정규분포표이다.

따라서 표준화를 해줘야한다.

 

표준화 식은 얻어냈고

이제 이걸 표준화된 식으로 바꾼 뒤

이 제시조건에 맞는 σ값을 찾으면 된다.

 

표준정규분포표를 보면

z = 1.5 일때 위 식이 성립하게 된다.

따라서 24/σ = 1.5 이고

따라서 σ = 16

 

따라서 답은 16