인수분해

아주 많은 내용을 담고있다.

쓰다보니 생각보다 내용이 많아서

글을 두개로 나눴어야 했는데 실수했다.

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- 인수분해란? -

 

우선 배웠던 내용의 복습부터 해보자.

많이 해봤을테니 과정 생략하고 답으로 바로 간다.

(x+1)(x+2) 를 전개하면 x²+3x+2 이다.

 

일단 좌변부터 보자.

좌변은 (x+1)(x+2) 이다.

따라서 좌변은 단항식이며, 어떤 수들의 곱 꼴로 나타내어져 있다.

우변은 x²+3x+2 이다.

따라서 우변은 항이 여러개인 다항식이며, 어떤 수들의 합 꼴로 나타내어져 있다.

 

이처럼

단항식을 항이 여러개인 다항식으로 바꾸는 과정을 '전개' 라 한다.

다른말로는, 곱꼴을 합꼴로 바꾸는 과정을 '전개'라 한다.

 

 

그래서 인수분해가 뭐냐면

이 전개를 거꾸로하는게 인수분해이다.

즉

항이 여러개인 다항식을 단항식으로 바꾸는 과정을 '인수분해'라 한다.

다른말로는, 합꼴을 곱꼴로 바꾸는 과정을 '인수분해'라 한다.

전개를 거꾸로하는게 '인수분해'이다.

 

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- 인수분해의 원리 -

 

인수분해의 기본은

'공통인수' 를 찾는데에 있다.

 

예를 들어, ab+ac 를 인수분해해보자.

ab라는 항과 ac 라는 항은

둘다 a가 공통으로 곱해져있기 때문에

둘다 a를 인수로 갖는다고 표현하고

둘다 공통으로 갖는 인수니까 공통인수라고 하는거다.

a가 공통인수이므로

곱셈에서의 분배법칙을 반대로하면 된다.

a(b+c) 를 전개하면

분배법칙에 의해 ab+ac 니까

반대로 ab+ac를 인수분해하면 a(b+c)가 된다.

 

즉 결론은,

괄호로 묶은다음 공통인수를 찾아서 밖으로 끌어내라.

 

 

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예제문제로 연습해보자.

 

항은 2ab 와 6b 인데

둘다 2b 라는게 공통으로 곱해져있으므로

'공통인수'는 2b 이다.

따라서 2ab+6b를 인수분해하면

2ab+6b = 2b(a+3)

 

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항은 a(x-y)와 -b(y-x) 인데

-b(y-x)는 분배법칙에 의해 +b(x-y) 이다.

따라서 둘의 공통인수는 (x-y) 이고

(x-y)를 앞으로 끌어내면

(x-y)(a+b) 이다.

따라서 답은

a(x-y) - b(y-x) = (x-y)(a+b)

 

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항은 ac와 -bd와 -ad와 bc 인데

넷다 공통으로 갖는 인수는 찾을수없다.

우선 당장 보이는 공통인수부터 일단 앞으로 빼내보자.

그러려면 저 식을 약간 변형할필요가 있다.

두개의 항에서

a라는 공통인수와 b라는 공통인수는 보이기 때문에

일단 보기편하게 순서만 바꿔쓴것이다.

앞의 두 항에서 공통인수는 a 이고

뒤의 두 항에서 공통인수는 b 이다.

각각 공통인수를 밖으로 빼내면

이랬더니 공통인수가 또 보인다.

c-d가 공통인수이다.

따라서 또 밖으로 빼내면

 

따라서 답은

 

 

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- 인수분해 공식 -

여기는 공식이라고 써있긴 하지만

사실 '인수분해가 전개의 반대과정'이기 때문에

전에 다뤘던 곱셈공식에서

좌변과 우변의 순서만 바꿔주면 그게 다 인수분해공식이 된다.

 

예를 들어,

이건 완전제곱식의 곱셈 공식이다.

여기서 좌변과 우변의 순서만 바꿔주면 인수분해 공식으로 변신한다.

 

따라서 여기 부분은

새로운 공식이 등장한다기 보다는

식을 딱 보고

뭘 전개했길래 이런 식이 등장할수 있었는지

유추해내는 감각이 필요하다.

처음엔 잘 안보이겠지만

고등학교 내내 이짓만 3년정도 하다보면

이미 몸에 완전히 익어서 딱보면 보이게 된다.

즉 많은 연습이 필요하다.

 

예를 들어주겠다.

일단 답은 (x-3)² 이다.

수학공부좀 했다 하는 고3 학생들은

저 식이 보이자마자 바로 (x-3)²으로 바꾸고 들어간다.

그정도로 익숙해져있다는것이다.

 

뭘 전개했길래 저런 식이 되었는지 유추하는 방법은

어느 식에든 완벽히 적용되는 꿀팁같은건 없고

진짜 그냥 감각인데

일단 최고차항이 x² 이니까

x를 제곱해서 만든것이다.

그리고 상수항인 9는 3² 이니까

3을 제곱해서 만든것이다.

x²도 x를 제곱해서 만든거고

9도 3을 제곱해서 만든거니까

뭔가 x와 3을 이용해서 어떻게어떻게 제곱하면 저 결과가 나올수 있지 않을까?

그니까 이거 혹시 완전제곱식이 아닐까?

라는 정도로는 유추해낼수 있다.

일단 유추한대로 저렇게 써놓고

가운데 부호를 또 찾아내야한다.

근데 생각해보자. x+3 이면

결과값에 -부호가 등장할수가 있을까?

계속 +부호끼리만 곱하니까 등장할수 없을것이다.

따라서 x와 3 사이에 올 부호는 -가 아닐까?

라고 유추해볼수 있고

일단 이렇게 써볼수 있다.

이걸 전개했는데

문제에서 제시한대로 x²-6x+9 이면 저게 답인거다.

전개하면 실제로 x²-6x+9이다.

 

따라서 x²-6x+9를 인수분해하면 (x-3)² 이다.

 

 

하나 더 해보자.

 

일단 공통인수가 보이니까 이것부터 처리하자.

공통인수는 3이다.

사실 여기서끝내도 되는데

9a²-4b²도 인수분해가 가능하니까

끝까지 할것이다.

우선 9a²은 3a를 제곱해서 만든것

그리고 -4b²은 2b를 제곱해서 만든것? 그건 아니다.

뭘 제곱해도 -부호가 등장할수는 없다.

그러면 이제 유추해볼수 있다.

처음엔 완전제곱식인줄 알았는데 아니었네?

결과가 (어떤수)² - (어떤수)² 형태로 나오려면

이거 혹시 합차공식이 아닐까?

라고 유추해볼수 있다.

일단 9a²은 3a를 제곱해서 만든것이고

4b²는 2b를 제곱해서 만든것이니까

3a와 2b를 가지고 합차공식을 어떻게 만들어볼수 있지 않을까?

근데 3a와 2b를 가지고 만들수 있는 합차공식은 하나밖에 없다.

이걸 전개했을때 9a²-4b² 가 나온다면

유추했던 내용이 맞는거고

답으로 옮겨쓰면 된다.

실제로 전개하면 9a²-4b²가 나온다.

 

따라서 답은

 

 

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- 심화 1 : 여러개의 문자를 포함한 인수분해 -

결과가 이딴식으로 나오는 곱셈공식이 떠오르지 않는다.

곱셈공식에만 매달리지 말고 기본에 충실하자.

공통인수를 찾는거다.

근데 문자가 여러갠데 공통인수를 어떻게 찾느냐?

문자가 x, y로 두개니까

얘네끼리 일단 격리시키는거다.

무슨 말이냐면, x가 포함된 애들끼리 모아서 정리하고

y가 포함된 애들끼리 모아서 정리해보자는거다.

그다음 격리시킨 두 문자중 하나를 골라서

그것을 기준으로 내림차순으로 정리한다.

 

x가 포함된 항은

x² , 4xy , 2x 이다.

y가 포함된 항은

4xy, -4y 이다.

 

이제 얘네끼리 격리시키면 되는거다.

근데 4xy는 어디로 가야하는가?

그건 푸는사람 마음이다.

x쪽으로 보낼수도 있고, y쪽으로 보낼수도 있다.

아무데나 가면 된다.

푸는사람이 풀기 쉬운 방향으로 하면 된다.

난 y쪽으로 보낼거다.

y쪽으로 4xy를 보내면

x가 포함된 항이 2개

y가 포함된 항이 2개가 되기 때문에

깔끔하게 나오지 않을까 유추해본것이다.

그럼 이제 y가 포함된 항을 먼저 쓰고

x가 포함된 항을 그다음에 쓰고

나머지 항을 그다음에 써줄것이다.

그리고 일단 4xy를 y쪽으로 보내기로 했다는건

y를 기준으로 풀기로 했다는것이다.

즉 y에 대해 내림차순 정리한다음 인수분해하면 된다.

여기서 보이는건

이 식이 y에 대한 일차식이라는것이다.

 

따라서 y에 대한 일차항끼리 묶어서 보고

나머지는 전부 상수항 취급하고 묶어서 볼것이다.

4xy-4y의 공통인수는 4y 이기 때문에

위와 같이 식이 변형된다.

 

근데 공통인수가 안보인다.

따라서 저 전개된 x쪽 식을 잘 변형하면

x-1 이라는 인수가 생겨서 공통인수로 처리할수 있지 않을까?

라고 유추해볼수 있다.

공통인수 x-1을 찾아냈다.

이제 x-1을 밖으로 빼내면

이제 끝

 

따라서 답은 (x-1)(4y+x+3)

 

 

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- 심화 2 : 공통부분이 있는 다항식의 인수분해 -

일단 그냥 다 전개한다음 인수분해해서 풀어도 틀린풀이는 아니다.

다만 좀 오래걸린다.

x+1이라는 특이한 형태가 반복되는데

얘를 풀어쓰면 오래걸리니까

그냥 풀어쓰지말고 x+1 대신 A 이런식으로 다른 문자로 써도 되지 않을까?

즉 A² - A - 12 이런식으로 표현해도 되지 않을까?

라는 생각을 해볼수 있다.

x+1 = A 라 두면 식이 간단해지고

그러면 풀기도 쉬워지니까 x+1=A라 두고 x+1자리에 A를 넣어버리자는거다.

이걸 치환한다라고 한다.

치환 : 수식의 어떤 부분에 그와 대등한 무언가를 바꿔 넣는 행위

x+1=A 라고 둬버렸으니

x+1과 대등한 A를 바꿔넣겠다는것이다.

바꿔넣으면 식이 다음과 같이 간단해진다.

이제 얘를 인수분해 하면 되는데

3 × -4 = -12 이고

3 + (-4) = -1 이니까

뭔가 3, -4 를 이용하면 될거같다 라고 유추해볼수 있다.

이건 그냥 감이라 설명해줄수가 없다.

이래서 이전의 내용을 완벽히 이해하지 않으면 다음 내용을 이해하지 못하는거다.

아무튼 인수분해할때 3, -4 를 이용해볼거고

A의 제곱이 들어가있다는건

A가 두번 곱해졌다는거니까

이런 형태의 식을 한번 세워보겠다.

저 사이사이에 들어갈 부호를 정해주자.

둘다 +를 넣어볼까?

이걸 전개하면 A²-A-12 가 나온다.

따라서

근데 이대로 답을 제출하면 안된다.

A라는 것은

잠깐 식을 간단히 하기 위해

우리가 임의로 잡은거기 때문에

다시 A=x+1로 돌려줘야한다.

 

따라서 답은

 

 

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- 심화 3 : x⁴ + ax² + b 꼴의 다항식의 인수분해 -

 

우리는 네제곱을 다루는 곱셈 공식을 배운적이 없다.

하지만 이건 배우지 않았나?

결과가 이런 형태로 나오는 곱셈은 많이 다뤄보지 않았나?

그리고 이걸 인수분해하는것 정도는 할수있지 않나?

뭘 한거냐면

x²=A 라고 '치환' 한것이다.

x⁴ = (x²)² 이고

x² = (x²)¹ 이니까

x²=A 라고 치환해버리면

x⁴ = (A)²

x² = (A)¹

이렇게 쓸수 있다.

 

그래서 x²=A 로 치환해서 위처럼 쓸수 있고

이걸 인수분해하면

아까도 말했듯이 A는 우리가 임의로 잡은거니까

다시 A=x²로 돌려주면

근데 여기서 또 인수분해할수 있다.

(어떤수)² - (어떤수)²

형태 이니까

합차공식이 아닐까?

전개해보면 맞음을 알수있다.

 

따라서 답은

 

 

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- 심화 4 : 인수정리를 이용한 다항식의 인수분해 -

일단 x의 네제곱이 등장하는 곱셈공식은 다룬적이 없기때문에

여기서 '곱셈공식'을 찾을순 없고

그렇다고 치환하자니 마땅히 '치환'하기 좋은것도 없고

그럼 '공통인수'로 묶어볼까?

이것도 안되네?

 

이렇게 이도저도 안될때 쓰는 방법이

인수정리를 이용하는것이다.

보통 곱셈공식이 존재하지 않는

삼차식 이상의 고차식을 인수분해할때 쓴다.

 

인수정리가 무엇인가?

P(x)가 x-α 로 나누어떨어진다는건

P(x)를 '인수분해' 하면 'x-α를 인수로 갖는다'는 뜻이다.

 

따라서 인수분해 하고자 하는 다항식을

여기서는 x에 대한 다항식이니까 P(x)라 두고

P(α)=0 이 되도록 하는 α의 값을 찾으면

(x-α)를 인수로 갖기때문에

인수를 하나 떼어낼수 있다.

이를 반복하면 인수분해가 가능하다.

 

α의 값을 찾는 방법은 아주 단순하다.

그냥 하나씩 수를 넣어본다.

'시행착오'를 거쳐야 한다는 말이다.

x=0 넣어보고 x=1 넣어보고 x=2 넣어보고

어? x=2 넣었더니 0됐네?

그럼 P(2)=0 이라는거고

인수정리에 의해 P(x)는 (x-2)를 인수로 갖겠네?

이런식으로 하는거다.

 

직접 해보자.

얘가 0이 되도록 하는 x값을 찾는거다.

일단 0 넣어봤더니 -6이라 안되고

1 넣어봤더니 0이 됐다.

따라서 얘는 x-1을 인수로 갖는다.

x-1을 인수로 갖는다는건

x-1로 나누어떨어진다는 것이다.

 

따라서 조립제법을 이용해 저것을 나누면

x-1로 나눈 몫이 나올것이다.

따라서 x-1로 나눈 몫은

x³ + 6x² + 11x + 6 이다.

따라서 아래와 같이 쓸수 있다.

일단 인수 하나를 떼어냈는데

그래도 저 삼차식을 인수분해 못하겠다.

x³+6x²+11x+6의 인수를 찾기 위해

아무래도 한번더 인수정리를 써야되겠다.

 

x³+6x²+11x+6 가 0이 되는 x값을 찾는다.

0을 넣어봤더니 6이라 안된다.

1을 넣어봤더니 안된다.

-1을 넣어봤더니 안된다.

-2를 넣어봤더니 0이 됐다.

따라서 x³+6x²+11x+6는 x+2를 인수로 갖는다.

 

또 조립제법 써주면

따라서 x-1로 나눈 몫은

x² + 4x + 3 이다.

따라서 아래와 같이 쓸수 있다.

 

x²+4x+3 정도는

인수정리 안써도 인수분해 할수 있다.

물론 이것도 인수정리 써도 된다.

x²+4x+3 를 인수분해하면 (x+1)(x+3) 이다.

 

따라서 최종적인 답은

 

 

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- 예제 -

1 )

 

공통인수가 보인다.

2y가 공통인수이다.

따라서 다음과 같이 밖으로 빼낼수 있다.

여기서 더이상 인수분해는 불가능하다.

따라서 답은 2y(xy-3) 이다.

 

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2 )

 

생겨먹은게 세제곱 공식 느낌이 나지 않나?

x³은 x를 세제곱한것

27은 3을 세제곱한것

따라서 x와 3이 들어갈거같고, 세제곱일거 같다고 유추할수 있다.

일단 유추해낸대로 쓰자.

저 사이에 부호가 +와 -중 들어가야하는데

+가 들어가면 딱 들어맞는다.

따라서 답은

 

 

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3 )

 

x²-3x 가 반복되어 나온다.

따라서 식의 간편화를 위해 x²-3x를 A라고 '치환'한다.

인수분해는 적당히 끝난거 같고

이제 A=x²-3x 를 돌려주자.

근데 돌려주고 나니

x²-3x+2 는 또 인수분해가 가능하다.

 

또 인수분해해주면 최종적인 답은

 

 

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4 )

 

문자가 x와 y로 두개인데

저런 곱셈공식은 다룬적 없으니

x와 y를 격리시키고 싶다는 생각이 든다.

그리고 x와 y 둘중 하나를 기준으로 잡아야한다.

난 x를 기준으로 잡겠다.

x를 기준으로 내림차순 정리한다.

여기서 상수항 부분을 잘 보자.

이건 인수분해가 가능하다.

우선 공통인수 -2를 빼낸다음 인수분해한다.

여기까지 한걸 적으면

1-y와 y-1을 보니

1-y에 -1만 곱해주면 y-1이 되면서

같은 형태가 될거같다는 생각이 든다.

같은 형태로 만든다음 치환하면 될것이다.

이제 y-1=A라 치환한다.

이걸 인수분해하면

이제 A=y-1을 돌려주자.

 

더이상 인수분해가 불가능하다.

따라서 답은

 

 

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5 )

 

일단 삼차식인데

세제곱 공식으로 나올수 있는 결론도 아니다.

일단 곱셈공식 풀이는 불가능하다는거다.

그리고 치환할것도 찾아볼수 없고

공통인수도 찾아볼수 없다.

따라서 인수정리를 이용해서 풀어야한다.

얘가 0이 되도록 하는 x값을 찾느거다.

0 넣으면 6이라 안된다.

1 넣으면 4라서 안된다.

-1 넣었더니 0이 됐다.

따라서 (x+1)을 인수로 갖는다.

(x³-4x²+x+6) 을 (x+1) 로 나누는건

조립제법을 이용하면 된다.

 

따라서 (x³-4x²+x+6) 을 (x+1) 로 나눈 몫은

x²-5x+6 이다.

x²-5x+6 은 인수분해가 가능하다.

 

따라서 최종적인 답은

 

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- 대단원 마무리 -

간단한 사칙연산부터 시작해서 인수분해까지

다항식을 다루는 법을 전체적으로 다뤘다.

여기까지 배운 것은

앞으로 고등수학뿐만이 아니라 대학교에 가서도

계속해서 쓰이는

기본기중의 기본기이기 때문에

절대로 가볍게 보면 안되며,

아주 중요한 곳이었다.

그리고 이 뒤에 나오는것들도 다 아주 중요한것들이다.

고1수학은

그 뒤에 배울 수학1, 수학2, 확통, 미적분, 기하

를 배우기 위한 기초를 다지는 곳이기 때문에

기초공사를 제대로 해야한다.

근데 또 고1수학이 막 쉬운건 또 아니기때문에

어렵고 힘들것이다.

그럼에도 불구하고 꾸준히 따라와주는 사람이

나중에 수학을 잘하는것이다.