사실 여기가 고등수학 미분의 본체이다.
내용도 많고 꽤 복잡하다.
- 몫의 미분법 -
이런걸 미분할것이다.
복잡해보이지만 쉽다.
곱의 미분법의 응용이다.
이렇게 변환한 뒤 곱의 미분법 공식을 쓰면 되는것이다.
근데 문제가 있다.
1/g(x)를 어떻게 미분해야하는지 모른다.
이는 도함수의 정의를 이용하면 증명 가능하다.
결론은 1/g(x)의 미분은 다음과 같다.
이제 이걸 아까 f(x)/g(x) 미분할때의 공식에 대입하면
몫의 미분법 공식이 완성된다.
따라서 결론적인 몫의 미분법 공식은
아래 두가지 이다.
이건 여담인데
이걸로 tanx의 미분을 간단하게 구할 수 있다.
tanx = sinx/cosx 니까 몫의 미분법 쓰면 된다.
직접 해보기 바란다.
- 합성함수의 미분법 -
이런 함수에서 y'을 구하고 싶다.
그러면 그냥 미분하면 될까?
이렇게 하면 안된다.
도함수의 정의를 여기다 적용해보자.
아직도 모르겠으면 h대신 원래 기호인 Δx로 바꿔보자.
따라서 여기서의 분모는 x의 변화량인데
분자는 f(x)의 변화량이 아니다.
f( g(x) )의 변화량이다.
미분계수라는건 '순간변화율' 이므로
x값의 변화에 대한
어떤 함수 f(x)의 변화를 봐야하는데
저기는 분모는 x의 변화량인데
분자는 f( g(x) )의 변화량이다.
즉 분자는 g(x)의 변화에 대한 f( g(x) )의 변화량이다.
따라서 저걸 미분계수로 만들기 위해
분모를 g(x)의 변화량으로 만들어줄 필요가 있다.
따라서 식을 다음과 같이 고쳐 쓴다.
이러면 최종적인 합성함수의 미분 식이 완성된다.
- 로그함수의 도함수 -
이걸 미분해보자.
로그함수의 진수에 함수가 있는 경우이다.
물론 f(x)≠0 이라는 전제조건이 있고
절댓값은 f(x)가 음수면 로그함수가 정의되지 않기 때문에 붙인거다.
lnx의 미분이 1/x 라는것과
방금 배운 합성함수의 미분법을 이용하면 된다.
f(x)≥0 인 경우, ln|f(x)| = lnf(x) 이다.
따라서 미분하면 다음과 같다.
다음으로 f(x)<0 인 경우, ln|f(x)| = ln(-f(x)) 이다.
따라서 미분하면 다음과 같다.
ln|f(x)| 의 도함수는 f(x)의 부호에 상관없이 똑같다.
따라서 ln|f(x)| 의 미분을 다음과 같이 일반화한다.
밑이 자연상수가 아닌 경우도 똑같다.
로그의 성질을 이용해 ln으로 바꿔준 뒤 미분하면 된다.
- 심화 : 로그함수 미분의 활용 -
로그함수의 미분은
식이 복잡한 함수를 미분할때 쓰이기도 한다.
이걸 미분해보자.
양변에 절댓값을 취한 뒤 자연로그를 취한다.
우변의 식을 로그의 성질을 이용해 간단하게 바꾸면
이제 양변을 미분하자.
f'(x)를 구하기 위해 양변에 f(x)를 곱한 뒤 정리하면
f(x)의 도함수인 f'(x)를 구할 수 있다.
계산이 복잡한 중간과정은 생략했다.
- 요약 -
로그함수의 진수에 함수가 있을 경우
로그함수의 미분과 합성함수의 미분법을 이용한다.
- 매개변수로 나타내어진 함수의 미분법 -
x와 y를 둘다 t에 대한 식으로 나타낼 수 있는 경우
즉 x = f(t) , y = g(t) 인 경우
그리고 우리가 원하는건 y를 x에 대해 미분한 것을 구하고 싶을때
쓰는 미분법이다.
f(t), g(t)가 t에 대하여 미분 가능하다고 하자.
미분가능하지 않다면 쓸 수 없다.
이를 하기에 앞서서 미분을 나타내는 기호를 이해했는지
점검하고 갈 필요가 있다.
y = f(x) 일 때,
아래 네가지의 식은 모두 같은 말이다.
세번째 네번째 식은 사실 별거 아닌게
도함수의 정의를 보자.
이건데
우리가 수학II에서
Δx→0 일 경우
x의 미소 변화량이라는 뜻으로
Δx 대신 dx 라고 쓴다고 배웠다.
같은 논리로
Δy도 y의 미소 변화량이라는 뜻으로
dy 라고 쓰는것이다.
네번째 것도 같은 논리니까 생략한다.
그래서 이걸 왜 점검하고 넘어갔냐면
우리가 구하고 싶은게 dy/dx 이기 때문이다.
이거니까 양변을 t에 대해 미분하면
이렇게 될 것이다.
이게 무슨 말인지 모르면
미분계수가 무슨말인지 모르는거다.
각각 좌변은
x와 y를 t에 대해 미분했으니까
t의 미소 변화에 대한 x와 y의 미소 변화의 비율을 나타내는게
순간변화율이고 그게 곧 미분이니까
저렇게 나오는 것이다.
우변은 f(t), g(t)를 t에 대해 미분했으니
당연히 f'(t), g'(t)가 된다.
그럼 dy/dx를 구하고 싶으면 간단하다.
물론 f'(t) ≠ 0 이어야 한다.
예시가 없어서 좀 와닿지 않을텐데
x = 2t+3
y = t²
이때 dy/dx는 무엇인가?
이럴때 쓰라는거다.
x와 y를 t에 대해 미분한다음
위의 식대로 하면 되는것이다.
- 요약 -
dy/dx 를 구할거니까
(dy/dt)/(dx/dt) 를 구하면 된다.
- 음함수의 미분법 -
y = f(x) 꼴로 나타내어지는걸 양함수라 하고,
f(x, y) = 0 꼴로 나타내어지는걸 음함수라 한다.
예를 들자면,
y = x³ - 2x² + 3
이런게 양함수이고
x³ + y - xy² = 0
이런게 음함수이다.
여기서의 음함수의 미분법이라는건
dy/dx를 구하고 싶다는거다.
그럼 그냥 미분해볼까?
하려니 곤란하다.
왜냐면 우리는 계속 y = f(x) 꼴로 나타내어진 것만 미분했는데
여기선 y = f(x)로 나타내려니 골치가 아프다.
즉 우리가 하던 방법으로는 한계가 있다.
여기서 핵심은
x³ + y - xy² = 0
이 음함수에서 y는
x가 몇이냐에 따라 정해지는 값이다.
즉 y는 x값에 따라 정해지는 값이고
이는 y를 x에 대한 함수로 나타낼 수 있음을 뜻한다.
y = f(x)라 하고 식을 다시 쓰면 다음과 같다.
그리고 이제 dy/dx를 구하기 위해
미분하자. y=f(x)니까 dy/dx = df(x)/dx = f'(x) 이다.
f(x) = y 니까 f(x) 자리에 y 넣고
f'(x) 자리에 dy/dx 넣고 정리하면
dy/dx를 구할 수 있다.
- 요약 -
y를 x에 대한 함수로 보고
하던대로 미분하면 된다.
- 함수 y=xⁿ 의 도함수 -
수학II에서 한거 아닌가? 할 수 있는데
그건 n이 자연수일 경우만 다룬거다.
n의 범위를 실수 전체로 확장시킬것이다.
결론은 똑같다.
증명 과정은
로그함수의 미분법과
음함수의 미분법을 활용하면 된다.
양변에 절댓값과 자연로그를 취하면
이제 양변을 미분하면
증명 완료
- 역함수의 미분법 -
f(x)의 역함수를 g(x)라 하자.
근데 여기서 g'(x)를 구하고 싶다.
이는 역함수의 정의를 이용하면 된다.
g(x)가 f(x)의 역함수니까
아래 식은 항등식(항상 성립하는 식)이다.
이제 이걸 양변을 미분하면
꽤 간단하게 결론이 나왔다.
- 요약 -
역함수의 정의와 합성함수의 미분을 이용한다.
- 예제 -
1 )
몫의 미분법 문제이다.
따라서 답은 1번
2 )
우리가 배운건 e^x의 미분인데
e^(x²-4)를 미분하라고 한다.
즉 합성함수의 미분 문제이다.
따라서 답은 12
3 )
로그함수 안에 함수가 들어있다.
즉 로그함수가 포함된 합성함수의 미분이다.
따라서 답은 3
4 )
x, y 모두 t에 대한 식으로 나타내어져 있고
둘다 t에 대해 미분 가능하다.
따라서 매개변수로 나타내어진 함수의 미분법 문제이다.
따라서 답은 4번
5 )
양변에 x를 빼주면
x² - x - 3xy + y² = 0 이다.
따라서 이건 음함수이다.
따라서 음함수의 미분법을 써야한다.
점 (1,0) 에서의 접선의 기울기를 구하라는건
x=1, y=0 에서의 dy/dx 를 구하라는거다.
접선의 기울기가 왜 dy/dx인지 모르면
그건 그냥 접선이 뭔지 모르는거다.
아무튼 미분한다음 x=1, y=0을 대입하면 된다.
따라서 답은 4번
6 )
따라서 답은 6
7 )
역함수가 g(x)인데 g'(3)을 구하라고 한다.
즉 역함수의 미분 문제이다.
우선 g'(3)을 구했고
g(3)의 값만 찾아서 f'(x)에 대입하면 끝난다.
따라서 g(3) = 0 이고
이제 마무리하면 된다.
따라서 답은 3번
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