수학II에서는 다항함수까지만 미분했는데
미적분에서는 삼각함수 로그함수 합성함수 등 여러가지 함수의 미분법을 배웠기 때문에
훨씬 문제를 출제할 주제가 많다.
거기다가 한가지 재료가 또 추가되는데 그게바로 이계도함수다.
- 이계도함수 -
도함수를 미분한게 이계도함수이다.
즉 함수를 두 번 미분하면 이계도함수이다.
이계도함수를 미분하면
함수를 세 번 미분한거니까
삼계도함수 라고 한다.
고등수학에서 삼계도함수 이상은 다루지 않는다.
f(x)의 도함수가 f'(x)인것처럼
이계도함수는
f'(x)의 도함수니까 f''(x) 라고 쓴다.
즉 이계도함수의 정의는 다음과 같다.
물론 당연히 도함수가 미분가능해야한다.
- 이계도함수의 표현 -
도함수의 표현법이 4가지이듯이
이계도함수의 표현법도 4가지이다.
우선 도함수의 표현법부터 복습하자.
함수 y=f(x) 가 있다고 하면 이것의 도함수는
이 네 가지로 표현 가능하다.
이제 이계도함수를 표현해보자.
일단 앞의 두개는 이것이라는걸 알겠는데
뒤의 두개가 좀 애매하다.
하나씩 해보자.
따라서 정리하면
이계도함수의 4가지 표현법은 다음과 같다.
사실 직접 해보니 별거 아니라는걸 느꼈을것이다.
수능문제에 가끔 등장하는 표현인데
식의 생김새를 보고 겁먹지 말자.
- 이계도함수의 활용 1 : 극대•극소 판정 -
우리가 극대•극소를 어떻게 판정했는지 떠올려보자.
우선 미분가능한 함수 y=f(x)가 있다고 해보자.
그럼 미분가능하니까 f'(x)=0 인 지점에서
극대거나 극소일 가능성이 있게 된다.
그리고 f'(x)=0인 지점의 왼쪽과
오른쪽의 부호가 다르다면
그곳이 극대점 또는 극소점이다.
예를 들어
f'(x)=0인 지점의 왼쪽부분의 도함수의 부호는 +이고
오른쪽부분의 도함수의 부호가 -라면
증가했다가 감소하는 함수가 되므로
극대점이 된다.
만약 둘의 부호가 같다면
계속 증가하거나 계속 감소하는 지점이기 때문에
극점이 아니다.
근데 이걸 이계도함수를 이용하면
깔끔하게 설명 가능하다.
만약 도함수가 이렇게 생겼다면
저 x축과 만나는 지점에서 f'(x)=0 이면서
그 지점의 좌우에서 도함수의 부호가 바뀌니까
저기가 극점이다.
정확히는 도함수가 음수였다가 양수로 바뀌는거니까
감소했다가 증가하는거고
따라서 극소점이다.
만약 도함수가 이렇게 생겼다면
저 x축과 만나는 지점에서 f'(x)=0 이면서
그 지점의 좌우에서 도함수의 부호가 바뀌니까
저기가 극점이다.
정확히는 도함수가 양수였다가 음수로 바뀌는거니까
증가했다가 감소하는거고
따라서 극대점이다.
즉 요약하자면
도함수의 값이 0일 때,
도함수의 부호가 양에서 음으로 바뀐다면 극대
음에서 양으로 바뀐다면 극소이다.
이는 다시 말하면
도함수가 감소하고 있다면 극대
도함수가 증가하고 있다면 극소라는 뜻이다.
어떤 지점에서의 함수의 증가, 감소를 판단하는 법은
그 함수의 그 지점에서의 '순간변화율' 을 이용하는것이다.
순간변화율은 곧 미분이고
따라서 도함수의 증가, 감소를 판단하고 싶다면
도함수를 미분하면 된다.
즉 이계도함수를 이용하면 된다.
f'(x)=0 일 때,
f''(x)>0 이라면
도함수가 증가중이라는거니까
여기는 극소점이다.
f'(x)=0 일 때,
f''(x)<0 이라면
도함수가 감소중이라는거니까
여기는 극대점이다.
따라서 극대 극소를 판단할 때
다음과 같이 일반화할 수 있다.
이계도함수를 가지는 함수 f(x)에 대하여
f'(a)=0 일 때,
f''(a)<0 이면 f(x)는 x=a에서 극대이고,
f''(a)>0 이면 f(x)는 x=a에서 극소이다.
- 이계도함수의 활용 2 : 오목•볼록 판정과 변곡점 -
그래프가 이렇게 생긴 구간이 오목한 구간(아래로 볼록한 구간)이고
이렇게 생긴 구간이 볼록한 구간이다.
그래서 이걸 어떻게 판정하냐면
이계도함수를 이용하는것이다.
이게 오목한거라고 했는데
왜 오목한건지
빨간색으로 접선을 막 그어보겠다.
x값이 증가함에 따른 접선의 기울기가 어떠한가?
접선의 기울기가
x값이 증가함에 따라 접선의 기울기가 증가하고 있다.
근데 접선의 기울기라는건
도함수의 어떤 지점에서의 값이고
따라서 접선의 기울기가 증가하고 있다는건
도함수가 증가하고 있다는거다.
도함수가 증가한다는건
이계도함수가 양수라는거다.
따라서 다음과 같은 결론을 얻는다.
f''(x)>0 이면 함수 f(x)는 이 구간에서 오목하다.(아래로 볼록하다)
이번엔 볼록한걸 보자.
이것도 접선을 막 그어보겠다.
x값이 증가함에 따른 접선의 기울기가 어떠한가?
감소하고 있다.
접선의 기울기는 도함수의 값이고
도함수의 값이 감소한다는거니까
이계도함수는 음수이다.
따라서 다음과 같은 결론을 얻는다.
f''(x)<0 이면 함수 f(x)는 이 구간에서 위로 볼록하다.
- 변곡점 -
변곡점이란, 함수의 오목•볼록이 바뀌는 지점이다.
즉 오목했던 함수가 x=a를 기점으로 볼록한 함수로 바뀌었다면
x=a인 지점이 바로 변곡점인 것이다.
근데 오목•볼록을 판단할 때
이계도함수의 부호로 판단했다.
즉 오목•볼록이 바뀐다는건
이계도함수의 부호가 바뀐다는거다.
만약 f''(x)가 연속이라고 해보자.
그럼 중간값 정리에 의해
이계도함수의 부호가 바뀌기 위해서는
반드시 f''(x)=0 인 지점을 지나야 한다.
f''(x)=0 일 때 f''(x)의 가능한 개형은
아래 4가지중 하나다.
오목•볼록이 바뀌려면 f''(x)의 부호가 바뀌어야한다.
따라서 오른쪽의 두개는 변곡점이 될 수 없다.
따라서 가능한 이계도함수의 개형은 이 두가지 뿐이다.
이 지점의 좌우에서 이계도함수의 부호가 바뀐다.
따라서 함수의 오목 볼록이 바뀐다.
요약하면 다음과 같다.
이계도함수를 가지는 함수 f(x)에 대하여
f''(a)=0 이고, x=a의 좌우에서 f''(x)의 부호가 바뀐다면
점 ( a, f(a) ) 는 y=f(x)의 변곡점이다.
- 예제 -
1 )
우선 e^x 도 미분가능하고
sinx도 미분가능하고
cosx도 미분가능하다.
따라서 f(x)는 미분가능하고
따라서 극대 극소를 판단할 때는
f'(x)=0 이면서 f''(x)≠0 인 지점을 찾으면 된다.
만약 f''(x)=0이면
그 x값이 f'(x)의 근이면서
f''(x)의 근이기 때문에
f'(x)의 중근인 지점이 되는거고
따라서 좌우에서 f'(x)의 부호가 바뀌지 않는다.
따라서 f''(x)=0이면 극점이 아니다.
f'(x)=0 이면서 f''(x)≠0 인 지점을 찾기 위해
도함수와 이계도함수를 구해보자.
열린구간 (0, 2π) 에서 f'(x)=0 인 지점을 찾아보자.
cosx=0 이어야하고 그런 지점은 x=π/2, 3π/2 이다.
그리고 x=π/2, 3π/2 에서 f''(x)≠0 이기 때문에
x=π/2, 3π/2 에서 극점이다.
그리고 x=π/2 에서 f''(π/2) < 0 이기 때문에
x=π/2 에서 극대이고
x=3π/2 에서 f''(3π/2) > 0 이기 때문에
x=3π/2 에서 극소이다.
따라서 M = f(π/2) , m = f(3π/2) 이다.
따라서 답은 1번
2 )
변곡점이라는건
f''(x)=0 이면서 좌우에서 f''(x)의 부호가 바뀌어야한다.
우선 f(x)는 미분가능하고
f'(x) = e^x + xe^x 라서
f'(x)도 미분가능하다.
따라서 f''(x)를 그냥 미분해서 구하면 된다.
f''(x) = e^x + e^x + xe^x = e^x(x+2) 이다.
따라서 f''(x)=0이 되는 지점은 x=-2 인 지점이고
f''(x)에서 e^x는 항상 양수이기 때문에
x+2 가 f''(x)의 부호를 정하는데
x=-2 좌우에서 x+2의 부호가 변하므로
f''(x)는 x=-2 좌우에서 부호가 변하고
따라서 x=-2인 지점이 변곡점이다.
따라서 변곡점은 ( -2, f(-2) ) 이고
f(-2) = -2e^(-2) 니까
a = -2, b = -2e^(-2) 이다.
따라서 ab = 4/e² 이고
따라서 답은 4번
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