수학II13 도함수의 활용 #1 - 접선의 방정식, 평균값 정리 - 도함수의 기하학적 의미 - 함수 y=f(x)가 x=a에서 미분가능하다고 해보자. 미분가능하다는건 f'(a)가 존재한다는거다. 이때 f'(a)의 기하학적 의미를 알아보자. f'(a)의 정의는 다음과 같다. 즉 도함수라는건 어떤 지점에서의 순간적인 x 변화량에 대한 y 변화량의 비율이다. 따라서 도함수라는건 어떤 지점에서의 순간적인 기울기를 의미한다. - 접선의 방정식 - 함수 y=f(x)의 그래프이다. 이것의 점 (2, 4)에서의 접선의 방정식을 구해보자. 우선 접선이라는게 뭔지부터 알 필요가 있다. 쉽게말하면 '어떤 곡선과 접하는 직선'이고 수학적인 정의는 다음과 같다. 곡선 위의 두 점 P, Q로 만들어지는 직선 PQ에서 점 Q가 곡선을 따라 점 P에 한 없이 가까워 질 때, 이 직선 PQ를 곡선과.. 2021. 9. 28. 미분가능성 수능 킬러 단골소재다. 하지만 내용 자체는 크게 어렵지 않다. - 미분가능성 - 말 그대로 미분이 가능하냐 불가능하냐를 따지는것이다. 미분이 불가능하다는게 무슨 말이냐면 도함수의 정의를 떠올려보자. 도함수라는건 함수의 극한으로 정의된다. 따라서 저기서 f(x)가 x=a에서 미분계수가 존재하려면 f(x)가 x=a에서 극한값을 가져야 한다. 그리고 도함수를 계산하려고 저 식에 a를 대입하면 분모 x-a는 x→a 이기 때문에 0에 수렴한다. 따라서 이 값이 존재하려면 f(x)의 극한값 - f(a) = 0 이어야 한다. 즉 f(x)의 x=a 에서의 극한값과 f(a)가 같아야 한다. 즉 극한값과 함숫값이 같아야 한다. 따라서 정리하자면 f(x)가 x=a에서 미분 가능하려면 f(x)가 x=a에서 연속이어야한다. 그.. 2021. 9. 28. 미분계수와 도함수, 미분법 공식 드디어 거의 모두가 이름만 들어도 무서워하는 미적분이 등장했다. 사실 별거 아닌데 뭔가 이상한 기호가 등장하고 공식이 복잡해보이니까 겁을 먹는것이다. 진짜 아무것도 아니니까 겁먹지말고 따라오면 좋겠다. - 평균변화율 - 말 그대로 x값의 변화에 따라 평균적으로 y값이 얼마나 변화했냐를 비율로 나타낸것이다. x값의 변화량은 Δx 라고 쓰고 y값의 변화량은 Δy 라고 쓴다. 즉 평균변화율의 정의는 다음과 같다. x의 변화량에 따른 y의 변화량 변화량을 비교할때는 처음값과 나중값을 비교한다. 즉 나중값에서 처음값을 빼주면 변화량이 나온다. 나중값이 처음값보다 작을수도 있으므로 변화량은 음수가 나올 수도 있다. 여기서 y=f(x) 라고 하고 x가 a에서 b까지 변화했다고 해보자. Δx=0이면 안되므로 a≠b 이.. 2021. 9. 27. 최대•최소 정리와 사잇값 정리 그냥 함수의 연속 부분의 심화 내용이다. 고등학교 수학 수준으로는 증명할 수 없어서 그냥 직관적으로 이해하고 넘어가는 부분이다. 그래서 그런지 출제 비율도 낮은 편이다. - 최대•최소 정리 - 함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b] 에서 연속이면 f(x)는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다. 이런 식으로 함수가 닫힌 구간 [a,b] 에서 연속이면 a와 b 사이에서 그래프가 끊어지지 않았다는거니까 어딘가엔 최댓값과 최솟값이 생길 수 밖에 없다는 논리이다. 근데 두 가지 의문점이 있다. 1. 왜 닫힌 구간이어야 하는가? 2. 왜 연속이어야 하는가? 1. 왜 닫힌 구간이어야 하는가? 열린 구간 (a,b) 에서 연속이라고 해보자. 그럼 저기서 최댓값은 f(b)인가? 열린 구간 (a,b) 에서 연속이라 .. 2021. 9. 26. 연속함수의 정의와 성질 수능 킬러문제에 거의 고정적으로 출제되는 주제이다. 물론 킬러이니만큼 여기서만 나오는게 아니고 여기저기서의 수학적 재료를 끌고와야하며 하나라도 모르면 못푼다. 여기서 그 킬러에 들어간다는 수학적 재료에 이 부분이 거의 무조건 들어간다. 매우 중요하다는 뜻이다. - 연속의 정의 - 함수의 연속이라는건 쉽게 말하자면 함수가 끊어지지 않은 것 이다. 즉 함수 f(x)가 x=a에서 연속인지 알고싶다면 1. f(a) 가 존재하는가? 2. f(x)의 x=a에서의 극한값이 존재하는가? 3. f(x)의 x=a에서의 극한값과 함숫값이 같은가? 이 세개를 모두 만족하면 함수 f(x)는 x=a에서 연속이다. 물론 극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 하므로 함수의 연속 조건을 다음과 같이 쓸 수 있다. 이걸 만족하지.. 2021. 9. 26. 극한의 성질과 극한값 계산, 샌드위치 정리 이 부분은 처음엔 굉장히 난해하고 어렵게 느껴지기 때문에 문제를 많이 풀어서 감을 익히는게 중요하다 생각한다. - 극한의 성질 - 당연한것만 모아놨지만 중요하다. 지금부터 등장하는 모든 성질은 함수 f(x)와 g(x)가 둘다 x=a에서 수렴할 때 성립하는 것들이다. 1. k값은 x라는 변수가 몇이던 항상 k이다. 즉 x라는 변수에 대해 상수이다. 따라서 바깥으로 빼낼 수 있다. 2. 3. 4. (중요) 증명은 간단하게 가능하다. 물론 0으로 나누는건 정의되지 않기때문에 β=0 이거나 g(x)=0 이면 안된다. - 함수의 극한값의 계산 - 이 값을 구하라 하면 쉽게 구할 수 있다. 그냥 x에 1을 대입하면 거기가 극한의 목적지니까 0 이라는 극한값으로 수렴한다. 근데 이러면 곤란해진다. 수렴값을 알기 위해.. 2021. 9. 24. 이전 1 2 3 다음
