미적분14 도함수의 활용 - 이계도함수 수학II에서는 다항함수까지만 미분했는데 미적분에서는 삼각함수 로그함수 합성함수 등 여러가지 함수의 미분법을 배웠기 때문에 훨씬 문제를 출제할 주제가 많다. 거기다가 한가지 재료가 또 추가되는데 그게바로 이계도함수다. - 이계도함수 - 도함수를 미분한게 이계도함수이다. 즉 함수를 두 번 미분하면 이계도함수이다. 이계도함수를 미분하면 함수를 세 번 미분한거니까 삼계도함수 라고 한다. 고등수학에서 삼계도함수 이상은 다루지 않는다. f(x)의 도함수가 f'(x)인것처럼 이계도함수는 f'(x)의 도함수니까 f''(x) 라고 쓴다. 즉 이계도함수의 정의는 다음과 같다. 물론 당연히 도함수가 미분가능해야한다. - 이계도함수의 표현 - 도함수의 표현법이 4가지이듯이 이계도함수의 표현법도 4가지이다. 우선 도함수의 표현.. 2021. 10. 13. 여러가지 미분법 사실 여기가 고등수학 미분의 본체이다. 내용도 많고 꽤 복잡하다. - 몫의 미분법 - 이런걸 미분할것이다. 복잡해보이지만 쉽다. 곱의 미분법의 응용이다. 이렇게 변환한 뒤 곱의 미분법 공식을 쓰면 되는것이다. 근데 문제가 있다. 1/g(x)를 어떻게 미분해야하는지 모른다. 이는 도함수의 정의를 이용하면 증명 가능하다. 결론은 1/g(x)의 미분은 다음과 같다. 이제 이걸 아까 f(x)/g(x) 미분할때의 공식에 대입하면 몫의 미분법 공식이 완성된다. 따라서 결론적인 몫의 미분법 공식은 아래 두가지 이다. 이건 여담인데 이걸로 tanx의 미분을 간단하게 구할 수 있다. tanx = sinx/cosx 니까 몫의 미분법 쓰면 된다. 직접 해보기 바란다. - 합성함수의 미분법 - 이런 함수에서 y'을 구하고 싶.. 2021. 10. 12. 삼각함수의 미분 이것도 지수 로그함수 미분할때처럼 일단 극한값부터 구해볼것이다. - 삼각함수의 극한 - 임의의 실수 a에 대하여 삼각함수 sinx, cosx, tanx의 극한은 다음과 같다. 너무 당연한거다. tan에 저런 조건이 붙은건 tan(π/2) 같은건 정의되지 않기 때문에 그런 부분을 빼준것이다. 이렇게 당연한걸 왜 알려주냐면 얘네가 바로 아래 식들의 극한값들을 증명하는데 쓰이는 재료이다. - sinx/x의 극한값 - 증명 과정은 아래와 같다. 반지름이 1이고 원주각이 x인 부채꼴 OAB가 있다고 해보자. 여기서 OA의 연장선을 그린다음 하나는 A에서 OB에 수선의 발을 긋고 하나는 B가 수선의 발이 되도록 OB에 수선의 발을 긋는다. A에서 그은 수선의 발을 C라 하고 B가 수선의 발이 되도록 하는 OA의 연.. 2021. 10. 10. 지수함수와 로그함수의 미분 지수함수, 로그함수를 미분할것이다. 우선 미분이라는게 극한에서 정의되는거니까 극한부터 한 다음 미분을 다룰 것이다. - 기본 : 지수함수의 극한 - 이런게 지수함수인데 지수함수는 수학I에서 배웠다시피 밑인 a가 1보다 크냐 작냐에따라 모양이 바뀐다. 따라서 a>1인 경우와 00 이다. - 3 - 답은 y' = lna×a^x 인데 이것도 미분계수의 정의로 간단히 증명 가능하다. - 4 - 답은 y' = 1/xlna 인데 이것도 미분계수의 정의로 간단히 증명 가능하다. 물론 로그함수니까 정의역은 x>0 이다. - 요약 - - 예제 - 1 ) 따라서 답은 2번 2 ) 우선 f(x)는 x≥0 에서는 다항함수 이므로 x>0 에서 연속이다. 그리고 x 2021. 10. 8. 무리수 e와 자연로그의 정의 수학에서 가장 아름다운 수 5개를 꼽자면 1, 0, π, e, i 이다. 이중 하나인 e의 정의를 배워볼것이다. 이 숫자를 아느냐 모르느냐로 문과생이냐 이과생이냐를 구분해낼 수 있다고 생각한다. 물론 구분하는 의미는 딱히 없지만 이 숫자를 안다는것 만으로도 수학 지식이 최소 상위50% 라는 자부심을 가져도 된다는 말이다. - e의 정의 - 자연상수 라고 부른다. 아래의 것의 극한값을 구해보자. 극한값을 구하기 위해 대입해봤는데 뭔가 1일거같기도하고 무한대로 발산할거같기도하고 잘 모르겠다. 이때 이것의 극한값이 바로 e이다. 왜 e인지는 나도 모른다. 그냥 그렇게 약속했다. 여기서 n=1/x 라고 하면 n→∞ 이므로 x→0 이다. 따라서 다음과 같이 쓸수도 있다. 여기서 핵심은 빨간 동그라미 친 애들은 서.. 2021. 10. 6. 등비급수와 등비급수의 활용 최근 수능 4점짜리 급수문제는 다 여기서 나온다. - 등비급수 - 말 그대로 급수인데 더하는 수열이 등비수열인 것이다. 즉 등비수열의 무한합이다. - 등비급수의 수렴과 발산 - 등비급수가 수렴하려면 어떻게 해야 할까? 우선 급수가 수렴하려면 더하고자 하는 수열의 극한이 0이어야 한다. 이것도 똑같다. 수열의 극한이 0이어야 한다. 즉 등비수열의 극한값이 0이어야한다. 등비수열의 극한이라는건 첫째항에 공비를 무한하게 곱한것이다. 즉 공비가 1보다 크다면 값은 계속 커지고 따라서 등비수열의 극한값이 존재하지 않고 발산할것이다. 따라서 등비수열의 극한값이 0이려면 공비의 크기가 1보다 작아서 곱하면 곱할수록 값의 크기가 작아져서 결국 무한히 곱하면 0에 수렴하거나 애초에 첫째항이 0이라 아무리 곱해도 계속 0.. 2021. 10. 5. 이전 1 2 3 다음
